Por que a função , definida por , não é contínua?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente entender por que a função , que é definida de forma diferente para , e , não é contínua. Aqui, estamos lidando com funções definidas por partes e continuidade de funções. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da função nos pontos críticos, especialmente em .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem verdadeiras:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Se alguma dessas condições não for atendida, a função não é contínua nesse ponto.

Passo 3

Vamos aplicar isso na nossa função em :
  1. Valor da função em :
    A definição diz que .
  2. Limite de quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ):
    Para , . Então,
  3. Limite de quando se aproxima de 0 pela direita ( ):
    Para , . Então,

Passo 4

Agora, vamos verificar se os limites laterais são iguais e se correspondem ao valor da função em 0:
  • O limite pela esquerda é 0.
  • O limite pela direita é 2.
  • O valor da função em 0 é 1.
Perceba que os limites laterais não são iguais (0 ≠ 2) e nenhum deles é igual a . Isso significa que a função não atende às condições de continuidade em .

Passo 5

Além disso, em todo outro ponto diferente de 0, a função é definida por expressões polinomiais ou lineares, que são contínuas por natureza. Portanto, o único ponto de descontinuidade é .

Resposta

A função não é contínua em porque os limites laterais quando se aproxima de 0 não são iguais entre si nem iguais ao valor da função em 0. Especificamente, , e . Como esses valores diferem, a função apresenta uma descontinuidade em .

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