Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente entender por que a função , que é definida de forma diferente para , e , não é contínua. Aqui, estamos lidando com funções definidas por partes e continuidade de funções. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da função nos pontos críticos, especialmente em .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem verdadeiras:
está definida.
O limite de quando se aproxima de existe.
O limite de quando se aproxima de é igual a .
Se alguma dessas condições não for atendida, a função não é contínua nesse ponto.
Passo 3
Vamos aplicar isso na nossa função em :
Valor da função em :
A definição diz que .
Limite de quando se aproxima de 0 pela esquerda ():
Para , . Então,
Limite de quando se aproxima de 0 pela direita ():
Para , . Então,
Passo 4
Agora, vamos verificar se os limites laterais são iguais e se correspondem ao valor da função em 0:
O limite pela esquerda é 0.
O limite pela direita é 2.
O valor da função em 0 é 1.
Perceba que os limites laterais não são iguais (0 ≠ 2) e nenhum deles é igual a . Isso significa que a função não atende às condições de continuidade em .
Passo 5
Além disso, em todo outro ponto diferente de 0, a função é definida por expressões polinomiais ou lineares, que são contínuas por natureza. Portanto, o único ponto de descontinuidade é .
Resposta
A função não é contínua em porque os limites laterais quando se aproxima de 0 não são iguais entre si nem iguais ao valor da função em 0. Especificamente, , e . Como esses valores diferem, a função apresenta uma descontinuidade em .