Calcule a área da região entre as curvas:
(g)
e
(g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a área da região que está entre as curvas
e
. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente de integração, que nos ajuda a encontrar áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa saber onde essas curvas se interceptam, ou seja, quais valores de
fazem com que
. Vamos resolver essa equação:
Subtraindo
de ambos os lados:
Fatorando:
Então, as soluções são
e
. Essas são as interseções das duas curvas.
Passo 3
Agora, vamos identificar qual das duas funções está acima da outra no intervalo de
a
. Vamos escolher um valor de
entre 0 e 3, por exemplo,
:
Para
:
Para
:
Como
, a função
está acima de
nesse intervalo.
Passo 4
A área entre as duas curvas de
a
é dada pela integral da diferença das funções:
No nosso caso, a função de cima é
e a de baixo é
. Então:
Simplificando dentro da integral:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral:
Integrando termo a termo:
Então:
Passo 6
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de 0 a 3:
Para
:
Para
:
Então, a área é:
Resposta
A área da região entre as curvas
e
é
unidades de área.
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