Calcule a área da região entre as curvas:
(g) y = x^2 - 2x e y = x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a área da região que está entre as curvas e . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente de integração, que nos ajuda a encontrar áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa saber onde essas curvas se interceptam, ou seja, quais valores de fazem com que . Vamos resolver essa equação:
Subtraindo de ambos os lados:
Fatorando:
Então, as soluções são e . Essas são as interseções das duas curvas.

Passo 3

Agora, vamos identificar qual das duas funções está acima da outra no intervalo de a . Vamos escolher um valor de entre 0 e 3, por exemplo, :
Para :
Para :
Como , a função está acima de nesse intervalo.

Passo 4

A área entre as duas curvas de a é dada pela integral da diferença das funções:
Áçãçã
No nosso caso, a função de cima é e a de baixo é . Então:
Á
Simplificando dentro da integral:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
Á
Integrando termo a termo:
Então:
Á

Passo 6

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de 0 a 3:
Para :
Para :
Então, a área é:
Á

Resposta

A área da região entre as curvas e é unidades de área.

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