Calcule as integrais:
(q) integral sen(2 x) cos x d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de uma função trigonométrica: integral sen(2x) cos x , dx. Para resolver isso, vamos utilizar técnicas de integração que envolvem identidades trigonométricas.

Passo 2

Para resolver a integral integral sen(2x) cos x , dx, podemos usar a identidade trigonométrica que transforma o produto de seno e cosseno em uma soma de senos. A identidade é:
sen(A)cos(B) = 12 [sen(A+B) + sen(A-B)]
Aqui, vamos aplicar essa identidade com A = 2x e B = x.

Passo 3

Aplicando a identidade, temos:
sen(2x)cos(x) = 12 [sen(2x + x) + sen(2x - x)] = 12 [sen(3x) + sen(x)]
Agora, substituímos isso na integral original:
integral sen(2x) cos x , dx = 12 integral sen(3x) , dx + 12 integral sen(x) , dx

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Integração de sen(3x):
12 integral sen(3x) , dx = 12 ( -13 cos(3x) ) = -16 cos(3x)
  1. Integração de sen(x):
12 integral sen(x) , dx = 12 ( -cos(x) ) = -12 cos(x)

Passo 5

Agora, somamos os resultados das integrais e adicionamos a constante de integração C:
-16 cos(3x) - 12 cos(x) + C

Resposta

integral sen(2x) cos x , dx = -16 cos(3x) - 12 cos(x) + C

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