Calcule as integrais:
(l) integral e^2 x4+4 e^4 x d x

Passo 1

Vamos calcular a integral . Esse exercício trabalha com integração de funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica de substituição que simplifica a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. Observe que 4 + 4e^4x = 4(1 + e^4x) pode ser fatorado:
integral e^2x4(1 + e^4x) , dx = 14 integral e^2x1 + e^4x , dx
Então, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = e^2x
Então, a derivada de dudx = 2e^2x implies du = 2e^2x , dx implies e^2x , dx = du2 em relação a 14 integral e^2x1 + e^4x , dx = 14 integral 11 + u^2 cdot du2 = 18 integral 11 + u^2 , du é:
Substituindo na integral:

Passo 4

A integral integral 11 + u^2 , du = arctan(u) + C é uma integral padrão que resulta na função arctangente:
18 arctan(u) + C = 18 arctan(e^2x) + C
Então, substituindo de volta:

Resposta

A integral é igual a .

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