Prove que a sequência a_n = ln(n) / n converge para zero.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que a sequência converge para zero. Isso está relacionado ao conteúdo de sequências e limites, mais especificamente ao estudo do comportamento das sequências quando tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções logarítmicas e lineares se comportam à medida que cresce muito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que uma sequência converge para um número. Dizemos que converge para se, à medida que fica muito grande, os termos da sequência se aproximam cada vez mais de . No nosso caso, queremos mostrar que .

Passo 3

Para calcular esse limite, podemos usar a regra de L’Hôpital, que é útil quando temos uma indeterminação do tipo . Observamos que, quando tende a infinito, tanto quanto tendem a infinito, então a forma é .

Passo 4

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a :

Passo 5

Agora, calculamos o limite . Sabemos que, conforme fica muito grande, fica cada vez menor, aproximando-se de zero.

Passo 6

Portanto, concluímos que:

Resposta

A sequência converge para zero.

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