Prove que a sequência
converge para zero.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que a sequência
converge para zero. Isso está relacionado ao conteúdo de sequências e limites, mais especificamente ao estudo do comportamento das sequências quando
tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções logarítmicas e lineares se comportam à medida que
cresce muito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que uma sequência converge para um número. Dizemos que
converge para
se, à medida que
fica muito grande, os termos da sequência se aproximam cada vez mais de
. No nosso caso, queremos mostrar que
.
Passo 3
Para calcular esse limite, podemos usar a regra de L’Hôpital, que é útil quando temos uma indeterminação do tipo
. Observamos que, quando
tende a infinito, tanto
quanto
tendem a infinito, então a forma é
.
Passo 4
Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a
:
Passo 5
Agora, calculamos o limite
. Sabemos que, conforme
fica muito grande,
fica cada vez menor, aproximando-se de zero.
Passo 6
Portanto, concluímos que:
Resposta
A sequência
converge para zero.
Exercícios relacionados
Encontre a área entre as curvas
e
para
.
Calcule a área da região entre as curvas
e
.
Use o teste da integral para analisar a série
.
Utilize o teste de comparação para analisar a série
.