Calcule a área da região definida pelas parábolas y = x^2 e y = 2 - x^2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular a área da região delimitada pelas parábolas e . Para isso, precisamos saber onde essas duas curvas se encontram e usar o conceito de integração para encontrar a área entre elas.

Passo 2

Vamos encontrar os pontos de interseção das duas parábolas. Para isso, igualamos as duas equações:
Somando dos dois lados:
Dividindo ambos os lados por 2:
Então, . Portanto, as curvas se cruzam nos pontos e .

Passo 3

Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos identificar qual função está acima da outra nesse intervalo. Observando os valores de para entre -1 e 1:
  • Para , a parábola é aberta para cima.
  • Para , a parábola é aberta para baixo.
Assim, está acima de nesse intervalo.

Passo 4

A fórmula para calcular a área entre duas curvas é:
Á
onde é a função de cima e a de baixo, e e são os limites de integração.

Passo 5

Aplicando isso ao nosso caso:
Á

Passo 6

Vamos calcular essa integral:
Agora, avaliamos de a :
Simplificando:

Resposta

A área da região definida pelas parábolas e é unidades quadradas.

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