Calcule a área da região definida pelas parábolas
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular a área da região delimitada pelas parábolas
e
. Para isso, precisamos saber onde essas duas curvas se encontram e usar o conceito de integração para encontrar a área entre elas.
Passo 2
Vamos encontrar os pontos de interseção das duas parábolas. Para isso, igualamos as duas equações:
Somando
dos dois lados:
Dividindo ambos os lados por 2:
Então,
. Portanto, as curvas se cruzam nos pontos
e
.
Passo 3
Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos identificar qual função está acima da outra nesse intervalo. Observando os valores de
para
entre -1 e 1:
- Para
, a parábola é aberta para cima. - Para
, a parábola é aberta para baixo.
Assim,
está acima de
nesse intervalo.
Passo 4
A fórmula para calcular a área entre duas curvas é:
onde
é a função de cima e
a de baixo, e
e
são os limites de integração.
Passo 5
Aplicando isso ao nosso caso:
Passo 6
Vamos calcular essa integral:
Agora, avaliamos de
a
:
Simplificando:
Resposta
A área da região definida pelas parábolas
e
é
unidades quadradas.
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Escreva em coordenadas polares a integral dupla
considerando
a região do primeiro quadrante que não contém a origem, sendo definida pelas circunferências
e pela reta
.
Inverta a ordem de integração em
Calcule o volume do sólido do primeiro octante, delimitados pelos planos
,
e
.
Calcuade wía/ whe onvio a
o
.