Inverta a ordem de integração em
integral0^1(integral0^2 x f(x, y) d y) d x+integral1^raiz5(integral0^raiz5-x^2 f(x, y) d y) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo que envolve integrais duplas. O objetivo é inverter a ordem de integração dessas integrais. Isso significa que, ao invés de integraremos primeiro em relação a e depois em relação a , vamos trocar essa ordem. Para fazer isso, a gente precisa entender bem os limites de integração originais e como eles se relacionam no plano .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a primeira integral:
integral0^1(integral0^2 x f(x, y) , dy) dx
Aqui, integral1^raiz5(integral0^raiz5 - x^2 f(x, y) , dy) dx varia de 0 a 1, e para cada valor de , varia de 0 a . Isso descreve uma região triangular no plano .
Agora, a segunda integral é:
Neste caso, varia de 1 a , e para cada , vai de 0 a . Isso representa uma região que complementa a anterior, formando uma área sob a curva , que é parte de um círculo de raio .
Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar em função de . Vamos identificar os limites de :
  • Na primeira parte, vai de 0 a 2 (já que quando , ).
  • Na segunda parte, vai de 2 até (pois tem um máximo de quando ).
Agora, para cada valor de :
  • De 0 a 2, varia de (invertendo ) até (invertendo ).
  • De 2 a , varia de 0 até .

Resposta

A ordem de integração invertida fica assim:
integral0^2 ( integraly2^raiz5 - y^2 f(x, y) , dx ) dy + integral2^raiz5 ( integral0^raiz5 - y^2 f(x, y) , dx ) dy

Exercícios relacionados