Inverta a ordem de integração em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo que envolve integrais duplas. O objetivo é inverter a ordem de integração dessas integrais. Isso significa que, ao invés de integraremos primeiro em relação a
e depois em relação a
, vamos trocar essa ordem. Para fazer isso, a gente precisa entender bem os limites de integração originais e como eles se relacionam no plano
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a primeira integral:
Aqui,
varia de 0 a 1, e para cada valor de
,
varia de 0 a
. Isso descreve uma região triangular no plano
.
Agora, a segunda integral é:
Neste caso,
varia de 1 a
, e para cada
,
vai de 0 a
. Isso representa uma região que complementa a anterior, formando uma área sob a curva
, que é parte de um círculo de raio
.
Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar
em função de
. Vamos identificar os limites de
:
- Na primeira parte,
vai de 0 a 2 (já que quando , ). - Na segunda parte,
vai de 2 até (pois tem um máximo de quando ).
Agora, para cada valor de
:
- De 0 a 2,
varia de (invertendo ) até (invertendo ). - De 2 a
, varia de 0 até .
Resposta
A ordem de integração invertida fica assim:
Exercícios relacionados
Faça a mudança de variáveis
e
para calcular
sendo
a região que abrange os primeiro e quarto quadrantes, sendo delimitada pelas retas
e
.
Exercício 5. Usando o Teorema de Green calcule:
(a) é a curva fronteira de região determinada pelas curvas
e
, orientada no sentido horário.
(a)
Escreva em coordenadas polares a integral dupla
considerando
a região do primeiro quadrante que não contém a origem, sendo definida pelas circunferências
e pela reta
.
Calcule a área da região definida pelas parábolas
e
.