Inverta a ordem de integração em

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo que envolve integrais duplas. O objetivo é inverter a ordem de integração dessas integrais. Isso significa que, ao invés de integraremos primeiro em relação a e depois em relação a , vamos trocar essa ordem. Para fazer isso, a gente precisa entender bem os limites de integração originais e como eles se relacionam no plano .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a primeira integral:
Aqui, varia de 0 a 1, e para cada valor de , varia de 0 a . Isso descreve uma região triangular no plano .
Agora, a segunda integral é:
Neste caso, varia de 1 a , e para cada , vai de 0 a . Isso representa uma região que complementa a anterior, formando uma área sob a curva , que é parte de um círculo de raio .
Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar em função de . Vamos identificar os limites de :
  • Na primeira parte, vai de 0 a 2 (já que quando , ).
  • Na segunda parte, vai de 2 até (pois tem um máximo de quando ).
Agora, para cada valor de :
  • De 0 a 2, varia de (invertendo ) até (invertendo ).
  • De 2 a , varia de 0 até .

Resposta

A ordem de integração invertida fica assim:

Exercícios relacionados

Faça a mudança de variáveis e para calcular
sendo a região que abrange os primeiro e quarto quadrantes, sendo delimitada pelas retas e .
Exercício 5. Usando o Teorema de Green calcule:
(a) é a curva fronteira de região determinada pelas curvas e , orientada no sentido horário.
Escreva em coordenadas polares a integral dupla
considerando a região do primeiro quadrante que não contém a origem, sendo definida pelas circunferências e pela reta .
Calcule a área da região definida pelas parábolas e .