considerando a região do primeiro quadrante que não contém a origem, sendo definida pelas circunferências e pela reta .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para reescrever uma integral dupla em coordenadas polares. Estamos trabalhando com integrais duplas e coordenadas polares. Para resolver isso, vamos precisar converter a integral dada de coordenadas cartesianas para polares e definir os limites de integração nessa nova coordenada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares . As relações são:
Além disso, o elemento de área em coordenadas polares se torna .
Passo 3
Agora, vamos analisar o integrando . Substituindo por e por , temos:
Então, a integral original se transforma em:
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração para e . A região está no primeiro quadrante, limitada pelas circunferências e , além da reta .
Primeiro, vamos converter essas equações para coordenadas polares:
A reta corresponde a .
Portanto, para cada no primeiro quadrante (), vai de até o menor valor entre e .
Passo 5
Agora, montamos a integral com os limites determinados:
Note que deve ser menor ou igual a , ou seja, . Isso ocorre quando . Para até , o limite superior de é .