Escreva em coordenadas polares a integral dupla
integral duplaD^square yx^2+y^2 d x d y,
considerando D a região do primeiro quadrante que não contém a origem, sendo definida pelas circunferências x^2+y^2=4, x^2+(y-2)^2=4 e pela reta x=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para reescrever uma integral dupla em coordenadas polares. Estamos trabalhando com integrais duplas e coordenadas polares. Para resolver isso, vamos precisar converter a integral dada de coordenadas cartesianas para polares e definir os limites de integração nessa nova coordenada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas (x, y) para polares (r, theta). As relações são:
x = r cos theta
y = r sin theta
Além disso, o elemento de área dx,dy em coordenadas polares se torna r,dr,dtheta.

Passo 3

Agora, vamos analisar o integrando yx^2 + y^2. Substituindo y por r sin theta e x^2 + y^2 por r^2, temos:
yx^2 + y^2 = r sin thetar^2 = sin thetar
Então, a integral original se transforma em:
integral duplaD sin thetar cdot r,dr,dtheta = integral duplaD sin theta,dr,dtheta

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração para r e theta. A região D está no primeiro quadrante, limitada pelas circunferências x^2 + y^2 = 4 e x^2 + (y-2)^2 = 4, além da reta x=0.
Primeiro, vamos converter essas equações para coordenadas polares:
r = 2
r^2 = 4r sin theta Rightarrow r = 4 sin theta
A reta x=0 corresponde a theta = pi2.
Portanto, para cada theta no primeiro quadrante ( 0 <= theta <= pi2), r vai de 0 até o menor valor entre 2 e 4 sin theta.

Passo 5

Agora, montamos a integral com os limites determinados:
integral0^pi2 integral0^4 sin theta sin theta,dr,dtheta
Note que 4 sin theta deve ser menor ou igual a 2, ou seja, sin theta <= 12. Isso ocorre quando theta <= pi6. Para theta > pi6 até pi2, o limite superior de r é 2.
Então, dividimos a integral em duas partes:
integral0^pi6 integral0^4 sin theta sin theta,dr,dtheta + integralpi6^pi2 integral0^2 sin theta,dr,dtheta

Passo 6

Vamos resolver cada parte separadamente.
Para 0 <= theta <= pi6:
integral0^4 sin theta sin theta,dr = sin theta cdot r |0^4 sin theta = 4 sin^2 theta
Integrando em theta:
integral0^pi6 4 sin^2 theta,dtheta = 4 cdot pi12 = pi3
Para pi6 <= theta <= pi2:
integral0^2 sin theta,dr = sin theta cdot r |0^2 = 2 sin theta
Integrando em theta:
integralpi6^pi2 2 sin theta,dtheta = 2 ( -cos theta ) |pi6^pi2 = 2 ( -0 + raiz32 ) = raiz3

Resposta

A integral dupla em coordenadas polares é:
pi3 + raiz3

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