Calcule a área da regiāo delimitada pela curva γ(t) = (sen^3(t), cos(t)), t ∈ [0, 2 pi].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da região delimitada pela curva definida por no intervalo . A matéria envolvida aqui é cálculo integral aplicado a curvas paramétricas. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a área limitada por uma curva paramétrica.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área A de uma região delimitada por uma curva paramétrica no intervalo . A fórmula é:
Aqui, e representam as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t, respectivamente.

Passo 3

Vamos identificar as funções x(t) e y(t) da nossa curva:
Agora, precisamos calcular as derivadas delas em relação a :

Passo 4

Calculando as derivadas:
Para , usamos a regra da cadeia:
Para , a derivada é direta:

Passo 5

Agora, substituímos x(t), y(t), e na fórmula da área:
Simplificando os termos dentro da integral:

Passo 6

Vamos fatorar o sinal negativo:
Agora, podemos separar a integral:

Passo 7

Vamos resolver cada integral separadamente. Primeiro, .
Usamos a identidade trigonométrica:
Então,
Agora, integramos termo a termo:
Para , usamos novamente a identidade:
Substituindo:
Calculando as integrais:
Substituindo de volta:
Avaliando de a , percebemos que os termos com seno se anulam, restando:

Passo 8

Agora, resolvemos a segunda integral: .
Usamos a identidade:
Então,
Para , usamos a identidade:
Substituindo:
Calculando as integrais:
Portanto,

Passo 9

Agora, somamos as duas integrais que calculamos:
Como a área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:

Resposta

A área da região delimitada pela curva é unidades de área.

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