Calcule a área da regiāo delimitada pela curva
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da região delimitada pela curva definida por no intervalo
. A matéria envolvida aqui é cálculo integral aplicado a curvas paramétricas. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a área limitada por uma curva paramétrica.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área
de uma região delimitada por uma curva paramétrica
no intervalo
. A fórmula é:
Aqui,
e
representam as derivadas de
e
em relação a
, respectivamente.
Passo 3
Vamos identificar as funções
e
da nossa curva:
Agora, precisamos calcular as derivadas delas em relação a
:
Passo 4
Calculando as derivadas:
Para , usamos a regra da cadeia:
Para
, a derivada é direta:
Passo 5
Agora, substituímos
,
,
e
na fórmula da área:
Simplificando os termos dentro da integral:
Passo 6
Vamos fatorar o sinal negativo:
Agora, podemos separar a integral:
Passo 7
Vamos resolver cada integral separadamente. Primeiro, .
Usamos a identidade trigonométrica:
Então,
Agora, integramos termo a termo:
Para
, usamos novamente a identidade:
Substituindo:
Calculando as integrais:
Substituindo de volta:
Avaliando de
a
, percebemos que os termos com seno se anulam, restando:
Passo 8
Agora, resolvemos a segunda integral: .
Usamos a identidade:
Então,
Para , usamos a identidade:
Substituindo:
Calculando as integrais:
Portanto,
Passo 9
Agora, somamos as duas integrais que calculamos:
Como a área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
Resposta
A área da região delimitada pela curva é
unidades de área.