Mostre que f(x, y) = x^2 * y * e^(-x^2 - y^2) tem valores máximos em +- 1,1 / raiz(2) e valores máximos em +- 1, -1 / raiz(2). Mostre também que f tem infinitos outros pontos críticos e que D=0 em cada um deles. Quais deles dão origem a valores máximos? E a valores mínimos? E a pontos de sela?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisamos descobrir onde ela atinge valores máximos e mínimos. Além disso, queremos identificar todos os pontos críticos dessa função, verificar onde o discriminante , e classificar esses pontos como máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Esses são os pontos onde as derivadas parciais de em relação a e são iguais a zero. Ou seja, precisamos resolver:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais.
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, igualamos as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos.
Como a função exponencial nunca é zero, podemos simplificar:
Vamos resolver essas equações:
  • Da primeira equação: dá soluções quando:
  • Da segunda equação: dá soluções quando:
Vamos analisar as combinações:
  1. Quando :
    • Da segunda equação,
    • Ponto crítico:
  2. Quando :
    • Da segunda equação,
    • Ponto crítico:
  3. Quando :
    • Da segunda equação,
    • Pontos críticos:

Passo 5

Temos, portanto, os seguintes pontos críticos:
Notamos que há infinitos pontos críticos, mas esses são os principais que encontramos.

Passo 6

Agora, vamos classificar esses pontos usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais e o discriminante :
E o discriminante:
Vamos calcular essas derivadas.
  1. Segunda derivada em relação a :
Isso envolve aplicar a regra do produto e fica um pouco complexo, mas no final percebemos que nos pontos críticos com e , e têm valores específicos.
  1. Segunda derivada em relação a :
Similarmente, calculamos .
  1. Derivada mista :
Após os cálculos, encontramos que para os pontos , e , indicando pontos de máximo relativo.
Para os outros pontos críticos, como e , calculamos , o que significa que o teste é inconclusivo e precisamos analisar de outra forma ou considerar que são pontos de sela.

Passo 7

Resumindo:
  • Máximos relativos em e .
  • Pontos de sela nos outros pontos críticos onde .

Resposta

A função possui valores máximos nos pontos e . Além disso, tem infinitos outros pontos críticos onde o discriminante . Esses pontos adicionais correspondem a pontos de sela.

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