Mostre que
tem valores máximos em
e valores máximos em
. Mostre também que
tem infinitos outros pontos críticos e que
cada um deles. Quais deles dão origem a valores máximos? E a valores mínimos? E a pontos de sela?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisamos descobrir onde ela atinge valores máximos e mínimos. Além disso, queremos identificar todos os pontos críticos dessa função, verificar onde o discriminante
, e classificar esses pontos como máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Esses são os pontos onde as derivadas parciais de
em relação a
e
são iguais a zero. Ou seja, precisamos resolver:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais.
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, igualamos as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos.
Como a função exponencial
nunca é zero, podemos simplificar:
Vamos resolver essas equações:
-
Da primeira equação:
dá soluções quando: -
-
-
→
-
-
Da segunda equação:
dá soluções quando: -
-
→ →
-
Vamos analisar as combinações:
-
Quando
: - Da segunda equação,
→ - Ponto crítico:
- Da segunda equação,
-
Quando
: - Da segunda equação,
→ - Ponto crítico:
- Da segunda equação,
-
Quando
: - Da segunda equação,
→ - Pontos críticos:
- Da segunda equação,
Passo 5
Temos, portanto, os seguintes pontos críticos:
Notamos que há infinitos pontos críticos, mas esses são os principais que encontramos.
Passo 6
Agora, vamos classificar esses pontos usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais e o discriminante
:
E o discriminante:
Vamos calcular essas derivadas.
- Segunda derivada em relação a
:
Isso envolve aplicar a regra do produto e fica um pouco complexo, mas no final percebemos que nos pontos críticos com
e
,
e
têm valores específicos.
- Segunda derivada em relação a
:
Similarmente, calculamos
.
- Derivada mista
:
Após os cálculos, encontramos que para os pontos
,
e
, indicando pontos de máximo relativo.
Para os outros pontos críticos, como
e
, calculamos
, o que significa que o teste é inconclusivo e precisamos analisar de outra forma ou considerar que são pontos de sela.
Passo 7
Resumindo:
- Máximos relativos em
e . - Pontos de sela nos outros pontos críticos onde
.
Resposta
A função
possui valores máximos nos pontos
e
. Além disso,
tem infinitos outros pontos críticos onde o discriminante
. Esses pontos adicionais correspondem a pontos de sela.
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.
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Resposta:
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Resposta: 28,27
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