Calcule a integral tripla de f(x, y, z) = z - 1 no conjunto B: (x-1)^{2} + y^{2}/2 + (z-1)^{2} <= 1 e z ≥ raiz((x - 1)² + (y² / 2)) + 1.
Resposta: quadrado
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Passo 1

Vamos calcular a integral tripla de no conjunto definido por:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente integrais triplas. Para resolver, precisaremos entender a região de integração e escolher um sistema de coordenadas adequado.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a região . A primeira inequação:
representa uma elipsoide centrada em com semi-eixos de comprimentos , e nas direções , e , respectivamente.
A segunda inequação:
define uma superfície que está acima de uma “função de cone” deslocada. A interseção dessas duas condições nos dá a região onde vamos calcular a integral.

Passo 3

Para simplificar a integração, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, adaptadas para a elipsoide dada. Definimos:
Com essa mudança, a elipsoide fica:
E a condição para torna-se:
Agora, nossa região de integração em coordenadas cilíndricas adaptadas é com e .

Passo 4

A função a ser integrada em termos das novas coordenadas fica .
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas adaptadas é:
Aqui, vem do determinante jacobiano da transformação.

Passo 5

Agora, configuramos a integral tripla:

Passo 6

Vamos integrar em ordem , e :
Primeiro, a integral em :

Passo 7

Substituindo na integral dupla:

Passo 8

Integrando em :

Passo 9

Substituindo de volta:

Resposta

A integral tripla vale .

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