Calcule a integral tripla de
no conjunto
e
.
Resposta:
Verificar
Resposta:
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Passo 1
Vamos calcular a integral tripla de
no conjunto
definido por:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente integrais triplas. Para resolver, precisaremos entender a região de integração
e escolher um sistema de coordenadas adequado.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a região
. A primeira inequação:
representa uma elipsoide centrada em
com semi-eixos de comprimentos
,
e
nas direções
,
e
, respectivamente.
A segunda inequação:
define uma superfície que está acima de uma “função de cone” deslocada. A interseção dessas duas condições nos dá a região
onde vamos calcular a integral.
Passo 3
Para simplificar a integração, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, adaptadas para a elipsoide dada. Definimos:
Com essa mudança, a elipsoide fica:
E a condição para
torna-se:
Agora, nossa região de integração em coordenadas cilíndricas adaptadas é
com
e
.
Passo 4
A função a ser integrada
em termos das novas coordenadas fica
.
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas adaptadas é:
Aqui,
vem do determinante jacobiano da transformação.
Passo 5
Agora, configuramos a integral tripla:
Passo 6
Vamos integrar em ordem
,
e
:
Primeiro, a integral em
:
Passo 7
Substituindo na integral dupla:
Passo 8
Integrando em
:
Passo 9
Substituindo de volta:
Resposta
A integral tripla vale
.
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tem valores máximos em
e valores máximos em
. Mostre também que
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.
Calcule a integral tripla de
no conjunto
e
.
Resposta: 28,27
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Calcule a integral tripla de
e
e
Resposta: 4,6875
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Resposta: 4,6875
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