Calcule a área da região delimitada pelas curvas e , e pelas retas e Resposta:
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Qual é a área entre as curvas e entre 0 e ? ( Reposta: 2)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular a área entre as curvas e no intervalo de a . A matéria aqui envolve cálculo de áreas entre curvas usando integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar identificar onde as curvas se cruzam e integrar a diferença entre elas nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como essas duas funções se comportam no intervalo de a . A função é bem conhecida, com valores que variam entre -1 e 1. Já é o quadrado da cosseno, então seus valores variam entre 0 e 1.
Passo 3
Agora, precisamos descobrir onde as duas curvas se cruzam, ou seja, para quais valores de temos . Vamos resolver essa equação:
Subtraindo de ambos os lados:
Fatorando:
Então, as soluções são:
No intervalo de a , isso acontece em:
Passo 4
Vamos esboçar rapidamente as curvas para entender qual delas está acima da outra em cada intervalo.
Entre e , está acima de .
Entre e , está acima de .
Entre e , está novamente acima de .
Passo 5
Para calcular a área entre as curvas, usamos a seguinte fórmula:
Onde é a função que está acima de no intervalo considerado. Com base no que vimos no Passo 4, temos três intervalos para considerar.
Passo 6
Vamos calcular a área em cada intervalo e depois somar tudo: