Calcule a área da região delimitada pelas curvas y = raiz(x + 1) e y = (x - 1)^(2), e pelas retas x = 2 e x = 0 Resposta: 2 * raiz(3) - 4/3
11
Qual é a área entre as curvas y = cos(x) e y = cos^2(x) entre 0 e 2 pi ? ( Reposta: 2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular a área entre as curvas e no intervalo de a . A matéria aqui envolve cálculo de áreas entre curvas usando integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar identificar onde as curvas se cruzam e integrar a diferença entre elas nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como essas duas funções se comportam no intervalo de a . A função é bem conhecida, com valores que variam entre -1 e 1. Já é o quadrado da cosseno, então seus valores variam entre 0 e 1.

Passo 3

Agora, precisamos descobrir onde as duas curvas se cruzam, ou seja, para quais valores de temos . Vamos resolver essa equação:
Subtraindo de ambos os lados:
Fatorando:
Então, as soluções são:
No intervalo de a , isso acontece em:

Passo 4

Vamos esboçar rapidamente as curvas para entender qual delas está acima da outra em cada intervalo.
  • Entre e , está acima de .
  • Entre e , está acima de .
  • Entre e , está novamente acima de .

Passo 5

Para calcular a área entre as curvas, usamos a seguinte fórmula:
Á
Onde é a função que está acima de no intervalo considerado. Com base no que vimos no Passo 4, temos três intervalos para considerar.

Passo 6

Vamos calcular a área em cada intervalo e depois somar tudo:
  1. De a :
    Á
  2. De a :
    Á
  3. De a :
    Á

Passo 7

Vamos resolver cada integral separadamente.
  1. Calculando Á:
    Então,
    Á
  2. Calculando Á:
    Então,
    Á
  3. Calculando Á:
    Então,
    Á

Passo 8

Agora, somamos todas as áreas:
ÁÁÁÁ
Simplificando:
Á

Resposta

A área entre as curvas e no intervalo de a é 2.

Exercícios relacionados