Resolva as integrais abaixo:
(k) integral4^infty -2 x d xraiz[3]9-x^2 (Resposta: Não converge.)
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Resolva as integrais abaixo. Cheque o resultado das integrais indefinidas derivando sua resposta e comparando com o integrando.
(a) integral e^raizx d x (Dica: use a substituição u=raizx e faça depois por partes, Resposta: 2[raizx e^raizx-raizx]+C)

Passo 1

Beleza, vamos resolver as integrais que você enviou. Primeiro, temos duas integrais para resolver:
  1. Integral (k): integral4^infty -2xraiz[3]9 - x^2 , dx
    Resposta esperada: Não converge.
  2. Integral (a): integral e^raizx , dx
    Dica: Use a substituição u = raizx e depois aplique integração por partes.
    Resposta esperada: 2[raizx , e^raizx - raizx] + C
Vamos resolver cada uma passo a passo!

Passo 2

Integral (k): integral4^infty -2xraiz[3]9 - x^2 , dx
Primeiro, vamos analisar se essa integral converge ou não. Para isso, precisamos verificar o comportamento da função integrando no intervalo de integração.

Passo 3

Observe que o denominador raiz[3]9 - x^2 envolve uma raiz cúbica de 9 - x^2. Conforme x tende ao infinito, x^2 cresce muito e o termo 9 - x^2 se torna negativo e tende a -infty. A raiz cúbica de um número negativo também é negativa, mas em termos de valor absoluto, ela cresce sem limite.
O numerador é -2x, que também tende a -infty à medida que x infty.
Então, o integrando se comporta como:
-2xraiz[3]-x^2 = -2x- raiz[3]x^2 = 2xraiz[3]x^2 = 2x^1 - 23 = 2x^13

Passo 4

Agora, avaliamos a integral de 2x^13 de 4 até o infinito:
integral4^infty 2x^13 , dx
Integrando, temos:
2 cdot 34 x^43 = 32 x^43 |4^infty

Passo 5

Calculando o limite:
limx to infty 32 x^43 - 32 cdot 4^43
O termo 32 x^43 tende a infinito quando x infty. Portanto, a integral diverge.

Passo 6

Resposta (k): Não converge.

Passo 7

Agora vamos para a integral (a): integral e^raizx , dx
A dica é usar a substituição u = raizx e depois fazer integração por partes. Vamos seguir esses passos juntos!

Passo 8

Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida:
u = raizx Rightarrow x = u^2
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a x para encontrar dx em termos de du:
dx = 2u , du

Passo 9

Substituindo u e dx na integral original:
integral e^raizx , dx = integral e^u cdot 2u , du = 2 integral u , e^u , du
Agora, temos uma integral que parece com u cdot e^u, para a qual vamos usar a técnica de integração por partes.

Passo 10

A integração por partes é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos identificar as partes:
  • Seja u = u (simples, não confunda com a variável u que já usamos)
  • Então, dv = e^u , du
Agora, derivamos e integramos para encontrar du e v:
  • du = du
  • v = integral e^u , du = e^u

Passo 11

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , e^u , du = u cdot e^u - integral e^u , du = u cdot e^u - e^u + C
Multiplicando por 2 (lembrando do passo anterior):
2 integral u , e^u , du = 2(u cdot e^u - e^u) + C = 2u cdot e^u - 2e^u + C

Passo 12

Agora, relembrando que u = raizx, substituímos de volta:
2 raizx cdot e^raizx - 2e^raizx + C = 2[raizx cdot e^raizx - e^raizx] + C
Podemos fatorar e^raizx:
2 e^raizx (raizx - 1) + C
Ou, de acordo com a resposta esperada:
2[raizx , e^raizx - raizx] + C

Passo 13

Resposta (a): boxed2[raizx , e^raizx - raizx] + C

Resumo

Resolvemos as duas integrais:
  1. Integral (k): Não converge.
  2. Integral (a): 2[raizx , e^raizx - raizx] + C
Espero que tenha ficado claro! Se tiver mais dúvidas, é só perguntar.

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