Calcule as integrais abaixo utilizando o método mais adequado:
(n) integral sec ^3(x) d x( Resposta: 12 sec (x) tg(x)+12 ln |sec (x)+tg(x)|+C)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de integração por partes, que é super útil quando temos produtos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Precisamos identificar quais partes da nossa integral serão u = sec(x) e dv = sec^2(x) , dx e . No nosso caso, vamos escolher:

Passo 3

Agora, vamos calcular du = ddx[sec(x)] , dx = sec(x) tan(x) , dx e v = integral sec^2(x) , dx = tan(x) :
Para , precisamos integrar :
Lembrando que a derivada de é .

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula da integração por partes com os valores que encontramos:
integral sec^3(x) , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo:
= sec(x) cdot tan(x) - integral tan(x) cdot sec(x) tan(x) , dx

Passo 5

Simplificando a integral que ficou:
integral tan(x) cdot sec(x) tan(x) , dx = integral sec(x) tan^2(x) , dx
Sabemos que integral sec(x) (sec^2(x) - 1) , dx = integral sec^3(x) , dx - integral sec(x) , dx , então substituímos:

Passo 6

Agora, rearranjamos a equação para isolar integral sec^3(x) , dx = sec(x) tan(x) - (integral sec^3(x) , dx - integral sec(x) , dx) :
2 integral sec^3(x) , dx = sec(x) tan(x) + integral sec(x) , dx
Levando para o outro lado:

Passo 7

Sabemos que 2 integral sec^3(x) , dx = sec(x) tan(x) + ln |sec(x) + tan(x)| + C . Então, substituindo:

Passo 8

Finalmente, dividimos ambos os lados por 2 para isolar a integral:
integral sec^3(x) , dx = 12 sec(x) tan(x) + 12 ln |sec(x) + tan(x)| + C

Resposta

integral sec^3(x) , dx = 12 sec(x) tan(x) + 12 ln |sec(x) + tan(x)| + C

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