Calcule as integrais a seguir usando o método da substituição trigonométrica:
(d) integral2^4 raiz16-x^2 d x (Resposta: 8 pi3-2 raiz3 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método da substituição trigonométrica. Esse método é útil quando temos expressões envolvendo raízes quadradas de polinômios quadráticos, como é o caso aqui. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre trigonometria e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a raiz quadrada. Vamos usar a substituição:
x = 4 sin(theta)
Isso significa que:
dx = 4 cos(theta) , dtheta

Passo 3

Agora, substituímos raiz16 - x^2 = raiz16 - 16 sin^2(theta) = 4 cos(theta) e integral raiz16 - x^2 , dx = integral 4 cos(theta) cdot 4 cos(theta) , dtheta = 16 integral cos^2(theta) , dtheta na integral:
Então, a integral fica:

Passo 4

Precisamos mudar os limites de integração para 2 = 4 sin(theta) Rightarrow sin(theta) = 12 Rightarrow theta = pi6 . Quando 4 = 4 sin(theta) Rightarrow sin(theta) = 1 Rightarrow theta = pi2 :
Quando :
Então, os novos limites são de a .

Passo 5

Vamos integrar cos^2(theta) = 1 + cos(2theta)2 . Sabemos que:
16 integral cos^2(theta) , dtheta = 16 integral 1 + cos(2theta)2 , dtheta = 8 integral (1 + cos(2theta)) , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
8 integral 1 , dtheta = 8theta
8 integral cos(2theta) , dtheta = 8 ( sin(2theta)2 ) = 4 sin(2theta)
Então, a integral completa é:
8theta + 4 sin(2theta)

Passo 7

Aplicamos os limites de integração 8( pi2 - pi6 ) + 4 ( sin(2 cdot pi2) - sin(2 cdot pi6) ) a 8( pi3 ) + 4 ( sin(pi) - sin(pi3) ) :
= 8pi3 + 4 (0 - raiz32)
Simplificando:
= 8pi3 - 2raiz3

Resposta

A integral resulta em .

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