Calcule as integrais a seguir usando o método da substituição trigonométrica:
(d)
(Resposta:
)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando o método da substituição trigonométrica. Esse método é útil quando temos expressões envolvendo raízes quadradas de polinômios quadráticos, como é o caso aqui. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre trigonometria e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a raiz quadrada. Vamos usar a substituição:
Isso significa que:
Passo 3
Agora, substituímos
e
na integral:
Então, a integral fica:
Passo 4
Precisamos mudar os limites de integração para
. Quando
:
Quando
:
Então, os novos limites são de
a
.
Passo 5
Vamos integrar
. Sabemos que:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a integral completa é:
Passo 7
Aplicamos os limites de integração
a
:
Simplificando:
Resposta
A integral
resulta em
.