Calcule a área da região delimitada por
(f) e

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a área da região que está entre três curvas: , e . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, que é uma ferramenta poderosa para encontrar áreas entre curvas. Primeiro, precisamos descobrir onde essas curvas se encontram, porque esses pontos vão definir os limites de onde vamos calcular a área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas e . Para isso, igualamos as duas equações:
Subtraindo dos dois lados:
Fatorando:
Isso nos dá as soluções:
Então, as curvas e se cruzam em , e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos de interseção entre e . Igualamos as duas equações:
Subtraindo dos dois lados:
Fatorando:
Isso nos dá as soluções:
Então, as curvas e se cruzam em , e .

Passo 4

Agora que temos os pontos de interseção, precisamos identificar quais desses pontos delimitam a região que estamos interessados em calcular a área. Observando os valores de , percebemos que a região fechada está entre e para as curvas e , e entre e para as curvas e .

Passo 5

Vamos dividir a área total em duas partes para facilitar o cálculo:
  1. Primeira parte: entre e , onde a curva superior é e a curva inferior é .
  2. Segunda parte: entre e , onde a curva superior é e a curva inferior é .

Passo 6

Para cada uma dessas partes, vamos calcular a área usando a fórmula da integral definida:
Áçãçã
Primeira parte:
Á
Segunda parte:
Á

Passo 7

Vamos calcular cada integral separadamente.
Calculando Á:
Á
Calculando Á:
Á

Resposta

Somando as duas áreas, temos:
ÁÁÁ
Portanto, a área da região delimitada pelas curvas , e é unidades de área.

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(d) , eixo e
Calcule , onde é uma curva cuja imagem é a poligonal az vértices e , orientada de para .