Calcule a área da região delimitada por
(f)
e
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a área da região que está entre três curvas:
,
e
. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, que é uma ferramenta poderosa para encontrar áreas entre curvas. Primeiro, precisamos descobrir onde essas curvas se encontram, porque esses pontos vão definir os limites de onde vamos calcular a área.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas
e
. Para isso, igualamos as duas equações:
Subtraindo
dos dois lados:
Fatorando:
Isso nos dá as soluções:
Então, as curvas
e
se cruzam em
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos de interseção entre
e
. Igualamos as duas equações:
Subtraindo
dos dois lados:
Fatorando:
Isso nos dá as soluções:
Então, as curvas
e
se cruzam em
,
e
.
Passo 4
Agora que temos os pontos de interseção, precisamos identificar quais desses pontos delimitam a região que estamos interessados em calcular a área. Observando os valores de
, percebemos que a região fechada está entre
e
para as curvas
e
, e entre
e
para as curvas
e
.
Passo 5
Vamos dividir a área total em duas partes para facilitar o cálculo:
- Primeira parte: entre
e , onde a curva superior é e a curva inferior é . - Segunda parte: entre
e , onde a curva superior é e a curva inferior é .
Passo 6
Para cada uma dessas partes, vamos calcular a área usando a fórmula da integral definida:
Primeira parte:
Segunda parte:
Passo 7
Vamos calcular cada integral separadamente.
Calculando
:
Calculando
:
Resposta
Somando as duas áreas, temos:
Portanto, a área da região delimitada pelas curvas
,
e
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Calcule a área da região delimitada por
(d) , eixo
e
(d)
Calcule
, onde
é uma curva cuja imagem é a poligonal az vértices
e
, orientada de
para
.