Calcule a área da região delimitada por
(e) y = sen x, y = cos x, x = 0 e x = pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da região delimitada pelas curvas , , e pelas retas verticais e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas. Precisaremos entender onde essas funções se interceptam e como calcular a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde as curvas e se encontram entre e . Para encontrar esses pontos de interseção, igualamos as duas funções:

Passo 3

Para resolver , podemos dividir ambos os lados por (desde que ):
Sabemos que quando dentro do intervalo .

Passo 4

Então, as curvas se interceptam em . Agora, precisamos dividir o intervalo em duas partes: de a e de a . Em cada intervalo, identificaremos qual função está acima da outra para determinar a expressão correta a ser integrada.

Passo 5

Vamos verificar qual função está acima em cada intervalo:
  • Para :
    • porque, por exemplo, em , e .
  • Para :
    • porque, por exemplo, em , e .

Passo 6

Agora, vamos configurar as integrais para cada intervalo:
  • De a , a área é dada por .
  • De a , a área é dada por .
Então, a área total é:

Passo 7

Vamos calcular cada integral separadamente:
  1. Primeira integral:
Avaliada de a :
  1. Segunda integral:
Avaliada de a :

Passo 8

Agora, somamos as duas áreas encontradas:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas , , e é unidades de área.

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