Calcule a área da região delimitada por
(e)
e
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da região delimitada pelas curvas
,
, e pelas retas verticais
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas. Precisaremos entender onde essas funções se interceptam e como calcular a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde as curvas
e
se encontram entre
e
. Para encontrar esses pontos de interseção, igualamos as duas funções:
Passo 3
Para resolver
, podemos dividir ambos os lados por
(desde que
):
Sabemos que
quando
dentro do intervalo
.
Passo 4
Então, as curvas se interceptam em
. Agora, precisamos dividir o intervalo
em duas partes: de
a
e de
a
. Em cada intervalo, identificaremos qual função está acima da outra para determinar a expressão correta a ser integrada.
Passo 5
Vamos verificar qual função está acima em cada intervalo:
-
Para
: -
porque, por exemplo, em , e .
-
-
Para
: -
porque, por exemplo, em , e .
-
Passo 6
Agora, vamos configurar as integrais para cada intervalo:
- De
a , a área é dada por . - De
a , a área é dada por .
Então, a área total
é:
Passo 7
Vamos calcular cada integral separadamente:
- Primeira integral:
Avaliada de
a
:
- Segunda integral:
Avaliada de
a
:
Passo 8
Agora, somamos as duas áreas encontradas:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
,
,
e
é
unidades de área.