Calcule integralgamma x d x+y d y, onde gamma é uma curva cuja imagem é a poligonal az vértices (0,0),(2,0) e (2,1), orientada de (0,0) para (2,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha integralgamma x , dx + y , dy, onde gamma é uma curva formada por uma poligonal com vértices nos pontos (0,0), (2,0) e (2,1), orientada de (0,0) para (2,1).
Aqui, estamos lidando com integrais de linha, que envolvem integrar uma função ao longo de uma curva. Para resolver, vamos dividir a curva gamma em duas partes e calcular a integral em cada uma delas separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da curva gamma:
  1. Primeira parte: do ponto (0,0) até (2,0). Essa é uma reta horizontal onde y=0.
  2. Segunda parte: do ponto (2,0) até (2,1). Essa é uma reta vertical onde x=2.
Vamos parametrizar cada trecho para facilitar os cálculos.

Passo 3

Parametrização da primeira parte ( gamma1):
  • Como y=0, apenas x varia de 0 a 2.
  • Podemos definir x = t, onde t varia de 0 a 2.
  • Então, dx = dt e dy = 0 (já que y é constante).
Agora, substituímos esses valores na integral:
integralgamma1 x , dx + y , dy = integral0^2 t cdot dt + 0 cdot 0 = integral0^2 t , dt

Passo 4

Agora, vamos calcular essa integral:
integral0^2 t , dt = [ t^22 ]0^2 = 2^22 - 0^22 = 42 - 0 = 2
Então, a integral na primeira parte gamma1 é igual a 2.

Passo 5

Parametrização da segunda parte ( gamma2):
  • Como x=2, apenas y varia de 0 a 1.
  • Podemos definir y = t, onde t varia de 0 a 1.
  • Então, dy = dt e dx = 0 (já que x é constante).
Substituindo na integral:
integralgamma2 x , dx + y , dy = integral0^1 2 cdot 0 + t cdot dt = integral0^1 t , dt

Passo 6

Calculando essa integral:
integral0^1 t , dt = [ t^22 ]0^1 = 1^22 - 0^22 = 12 - 0 = 12
Portanto, a integral na segunda parte gamma2 é igual a 12.

Resposta

Somando as duas partes:
integralgamma x , dx + y , dy = 2 + 12 = 52
A resposta final é 52.

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