Calcule , onde é uma curva cuja imagem é a poligonal az vértices e , orientada de para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha , onde é uma curva formada por uma poligonal com vértices nos pontos , e , orientada de para .
Aqui, estamos lidando com integrais de linha, que envolvem integrar uma função ao longo de uma curva. Para resolver, vamos dividir a curva em duas partes e calcular a integral em cada uma delas separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da curva :
  1. Primeira parte: do ponto até . Essa é uma reta horizontal onde .
  2. Segunda parte: do ponto até . Essa é uma reta vertical onde .
Vamos parametrizar cada trecho para facilitar os cálculos.

Passo 3

Parametrização da primeira parte ( ):
  • Como , apenas varia de a .
  • Podemos definir , onde varia de a .
  • Então, e (já que é constante).
Agora, substituímos esses valores na integral:

Passo 4

Agora, vamos calcular essa integral:
Então, a integral na primeira parte é igual a .

Passo 5

Parametrização da segunda parte ( ):
  • Como , apenas varia de a .
  • Podemos definir , onde varia de a .
  • Então, e (já que é constante).
Substituindo na integral:

Passo 6

Calculando essa integral:
Portanto, a integral na segunda parte é igual a .

Resposta

Somando as duas partes:
A resposta final é .

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(f) e
Uma partícula segue a trajetória até que se desliga seguindo pela tangente à curva em . Qual é sua posição em ?