Calcule
, onde
é uma curva cuja imagem é a poligonal az vértices
e
, orientada de
para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha
, onde
é uma curva formada por uma poligonal com vértices nos pontos
,
e
, orientada de
para
.
Aqui, estamos lidando com integrais de linha, que envolvem integrar uma função ao longo de uma curva. Para resolver, vamos dividir a curva
em duas partes e calcular a integral em cada uma delas separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas partes da curva
:
- Primeira parte: do ponto
até . Essa é uma reta horizontal onde . - Segunda parte: do ponto
até . Essa é uma reta vertical onde .
Vamos parametrizar cada trecho para facilitar os cálculos.
Passo 3
Parametrização da primeira parte (
):
- Como
, apenas varia de a . - Podemos definir
, onde varia de a . - Então,
e (já que é constante).
Agora, substituímos esses valores na integral:
Passo 4
Agora, vamos calcular essa integral:
Então, a integral na primeira parte
é igual a
.
Passo 5
Parametrização da segunda parte (
):
- Como
, apenas varia de a . - Podemos definir
, onde varia de a . - Então,
e (já que é constante).
Substituindo na integral:
Passo 6
Calculando essa integral:
Portanto, a integral na segunda parte
é igual a
.
Resposta
Somando as duas partes:
A resposta final é
.
Exercícios relacionados
Calcule a área da região delimitada por
(f) e
(f)
Uma partícula segue a trajetória
até que se desliga seguindo pela tangente à curva em
. Qual é sua posição em
?