Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a soma infinita:
Esse problema tá dentro da matéria de Séries Infinitas e vamos precisar entender sobre séries de potências e a expansão de funções trigonométricas, como o seno. Vamos usar algumas fórmulas que envolvem fatoriais e termos alternados para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nos primeiros termos da soma para entender o padrão:
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
E assim por diante. Vemos que os sinais alternam e os denominadores são os fatoriais de números ímpares.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da série de Taylor do seno para facilitar:
Se a gente colocar , a série fica:
Mas nosso exercício começa com , então precisamos ajustar isso.

Passo 4

Vamos mudar o índice da soma no exercício para começar em . Seja , então quando , . A soma fica:
Como , a expressão simplifica para:
E olha só, isso é exatamente a série que define !

Resposta

O valor da soma é .

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(f) e
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