Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a soma infinita:
Esse problema tá dentro da matéria de Séries Infinitas e vamos precisar entender sobre séries de potências e a expansão de funções trigonométricas, como o seno. Vamos usar algumas fórmulas que envolvem fatoriais e termos alternados para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada nos primeiros termos da soma para entender o padrão:
- Quando
:
- Quando
:
- Quando
:
E assim por diante. Vemos que os sinais alternam e os denominadores são os fatoriais de números ímpares.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da série de Taylor do seno para facilitar:
Se a gente colocar
, a série fica:
Mas nosso exercício começa com
, então precisamos ajustar isso.
Passo 4
Vamos mudar o índice da soma no exercício para começar em
. Seja
, então quando
,
. A soma fica:
Como
, a expressão simplifica para:
E olha só, isso é exatamente a série que define
!
Resposta
O valor da soma é
.