sumn=1^+infty(-1)^n+1 1(2 n-1)!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a soma infinita:
sumn=1^+infty(-1)^n+1 1(2 n-1)!
Esse problema tá dentro da matéria de Séries Infinitas e vamos precisar entender sobre séries de potências e a expansão de funções trigonométricas, como o seno. Vamos usar algumas fórmulas que envolvem fatoriais e termos alternados para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nos primeiros termos da soma para entender o padrão:
  • Quando (-1)^1+1 1(2 times 1 - 1)! = 1 times 11! = 1 :
(-1)^2+1 1(2 times 2 - 1)! = -1 times 13! = -16
  • Quando (-1)^3+1 1(2 times 3 - 1)! = 1 times 15! = 1120 :
  • Quando :
E assim por diante. Vemos que os sinais alternam e os denominadores são os fatoriais de números ímpares.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da série de Taylor do seno para facilitar:
sin(x) = sumn=0^+infty (-1)^n x^2n+1(2n+1)!
Se a gente colocar sin(1) = sumn=0^+infty (-1)^n(2n+1)! , a série fica:
Mas nosso exercício começa com , então precisamos ajustar isso.

Passo 4

Vamos mudar o índice da soma no exercício para começar em summ=0^+infty (-1)^(m+1)+1 1(2(m+1)-1)! = summ=0^+infty (-1)^m+2 1(2m+1)! . Seja summ=0^+infty (-1)^m 1(2m+1)! , então quando , . A soma fica:
Como , a expressão simplifica para:
E olha só, isso é exatamente a série que define !

Resposta

O valor da soma é .

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