Calcule a área da região delimitada pelas retas x = 0, x = pi/2 e pelos gráficos de y = cos(x) e y = 1 - cos(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a área da região que está delimitada pelas retas , e pelos gráficos das funções e . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente de integrais para encontrar áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde as duas funções e se encontram dentro do intervalo de a . Para isso, igualamos as duas funções:

Passo 3

Resolvendo a equação:
Então, as duas funções se cruzam quando .

Passo 4

Agora sabemos que a região está dividida em duas partes pelo ponto de interseção . Precisamos calcular a área de cada parte separadamente.

Passo 5

Para de a , a função está acima de . Então, a área dessa parte é:

Passo 6

Calculando essa integral:
Avaliado de a :

Passo 7

Para de a , a função está acima de . Então, a área dessa parte é:

Passo 8

Calculando essa integral:
Avaliado de a :
Simplificando:

Passo 9

Agora, somamos as duas áreas encontradas:

Resposta

A área da região delimitada é unidades de área.

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