Calcule as integrais abaixo: integral1^2 ln x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com a integração da função logarítmica natural ( ). Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é muito útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos identificar quais partes da nossa integral serão e . Uma boa escolha é deixar e .

Passo 3

Agora, vamos derivar du = 1x , dx e integrar v = integral dv = integral dx = x :
Então, temos e .

Passo 4

Substituindo na fórmula da integração por partes:
integral ln x , dx = x ln x - integral x cdot 1x , dx
Simplificando a segunda integral:
integral x cdot 1x , dx = integral 1 , dx = x

Passo 5

Portanto, a integral fica:
integral ln x , dx = x ln x - x + C
Agora, vamos aplicar os limites de integração de 1 a 2 usando o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 6

Aplicando os limites:
[ x ln x - x ]1^2 = (2 ln 2 - 2) - (1 ln 1 - 1)
Sabemos que = (2 ln 2 - 2) - (0 - 1) = 2 ln 2 - 2 + 1 = 2 ln 2 - 1 , então:

Resposta

O valor da integral é .

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