Calcule as integrais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com a integração da função logarítmica natural ( ). Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é muito útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos identificar quais partes da nossa integral serão e . Uma boa escolha é deixar e .

Passo 3

Agora, vamos derivar e integrar :
Então, temos e .

Passo 4

Substituindo na fórmula da integração por partes:
Simplificando a segunda integral:

Passo 5

Portanto, a integral fica:
Agora, vamos aplicar os limites de integração de 1 a 2 usando o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 6

Aplicando os limites:
Sabemos que , então:

Resposta

O valor da integral é .

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Calcule as integrais abaixo: ;
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