Calcule as integrais abaixo:
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Passo 1
Resumo do Problema e Materiais Necessários
Oi! Vamos resolver juntos essa integral:
Esse exercício envolve o cálculo de integrais, mais especificamente usando a substituição. Para resolver, vamos precisar entender como fazer uma mudança de variável que simplifica a integral, além de conhecer a derivada e propriedades de logaritmos.
Passo 2
Entendendo a Integral
Primeiro, vamos dar uma olhada na integral:
Aqui, temos uma função complicada no denominador:
multiplicado pela raiz quadrada do logaritmo natural de
. Para simplificar, vamos usar uma substituição que torne a integral mais fácil de resolver.
Passo 3
Escolhendo a Substituição Adequada
Vamos fazer uma substituição onde definimos:
Isso significa que estamos substituindo o logaritmo de
por uma nova variável
. Agora, precisamos encontrar
em termos de
.
Passo 4
Calculando
Derivando ambos os lados da substituição
em relação a
, temos:
Perfeito! Isso significa que
pode ser substituído por
.
Passo 5
Substituindo na Integral
Agora, vamos substituir
e
na integral original:
Simplificamos a integral para:
Passo 6
Resolvendo a Integral em termos de
A integral
é uma integral básica. Integrando, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Voltando para a Variável Original
Agora, precisamos voltar à variável original
. Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 8
Aplicando os Limites de Integração
Vamos agora aplicar os limites de integração de
a
. Porém, precisamos ter cuidado porque
não está definido para
.
Na verdade,
só é definido para
, e a expressão
só é real quando
, ou seja, quando
.
Portanto, a integral correta deveria ter limites de
a
. Vamos proceder com esses limites:
Sabemos que
, então:
Resposta
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Calcule as integrais abaixo:
Calcule a área da região delimitada pelas retas
e pelos gráficos de
e
.
Calcule as integrais abaixo:
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Calcule as integrais abaixo:
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