Calcule as integrais abaixo: integral0^4 1x raizln x d x;

Passo 1

Resumo do Problema e Materiais Necessários
Oi! Vamos resolver juntos essa integral:
integral0^4 1x raizln x , dx
Esse exercício envolve o cálculo de integrais, mais especificamente usando a substituição. Para resolver, vamos precisar entender como fazer uma mudança de variável que simplifica a integral, além de conhecer a derivada e propriedades de logaritmos.

Passo 2

Entendendo a Integral
Primeiro, vamos dar uma olhada na integral:
integral0^4 1x raizln x , dx
Aqui, temos uma função complicada no denominador: multiplicado pela raiz quadrada do logaritmo natural de . Para simplificar, vamos usar uma substituição que torne a integral mais fácil de resolver.

Passo 3

Escolhendo a Substituição Adequada
Vamos fazer uma substituição onde definimos:
u = ln x
Isso significa que estamos substituindo o logaritmo de por uma nova variável . Agora, precisamos encontrar em termos de .

Passo 4

Calculando dudx = 1x Rightarrow du = 1x dx
Derivando ambos os lados da substituição em relação a , temos:
Perfeito! Isso significa que pode ser substituído por .

Passo 5

Substituindo na Integral
Agora, vamos substituir integral0^4 1x raizln x , dx = integral 1raizu , du e integral u^-1/2 , du na integral original:
Simplificamos a integral para:

Passo 6

Resolvendo a Integral em termos de integral u^-1/2 , du = 2u^1/2 + C
A integral é uma integral básica. Integrando, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Voltando para a Variável Original 2u^1/2 + C = 2raizln x + C
Agora, precisamos voltar à variável original . Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 8

Aplicando os Limites de Integração
Vamos agora aplicar os limites de integração de [ 2raizln x ]1^4 = 2raizln 4 - 2raizln 1 a 2raizln 4 - 0 = 2raizln 4 . Porém, precisamos ter cuidado porque não está definido para .
Na verdade, só é definido para , e a expressão só é real quando , ou seja, quando .
Portanto, a integral correta deveria ter limites de a . Vamos proceder com esses limites:
Sabemos que , então:

Resposta

2 raizln 4

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