Calcule integralgamma F cdot d r sendo dados: F(x, y)=x^2 j e gamma(t)=(t^2, 3),-1 <= t <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha integralgamma F cdot d r, onde o campo vetorial é F(x, y) = x^2 j e a curva gamma(t) é dada por gamma(t) = (t^2, 3) para -1 <= t <= 1. Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa F cdot d r. Essa expressão representa o produto escalar entre o campo vetorial F e o diferencial de posição d r. Para calcular a integral, precisamos parametrizar a curva gamma(t) e encontrar d r em termos de t.

Passo 3

A curva gamma(t) = (t^2, 3) já está parametrizada em termos de t. Agora, vamos encontrar d r, que é a derivada de gamma(t) em relação a t multiplicada por dt. Então:
r(t) = t^2 3
Calculando a derivada:
drdt = 2t 0
Portanto,
dr = 2t 0 dt

Passo 4

Agora, vamos substituir F(x, y) pela parametrização da curva. Na curva, x = t^2 e y = 3, então:
F(t) = x^2 j = (t^2)^2 j = t^4 j = 0 t^4

Passo 5

Agora, fazemos o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = 0 t^4 cdot 2t 0 dt = (0 cdot 2t) + (t^4 cdot 0) = 0

Passo 6

Viu só? O produto escalar deu zero. Isso significa que a integral de linha será zero, já que estamos somando zeros ao longo de toda a curva.

Resposta

integralgamma F cdot d r = 0

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