Considere o problema de valor inicial (PVI): {x^2 y' + x y = 1, y(1) = 2} :
a) Encontre a solução do PVI.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de valor inicial (PVI) dado por:
Aqui, o que estamos lidando é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar uma solução geral para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para a forma padrão de uma equação linear:
Dividindo ambos os lados da equação original por :
Aqui, identificamos que:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante ( ) que vai simplificar a equação. O fator integrante é dado por:
Explicando: Integramos em relação a , e como a integral de é , o fator integrante fica sendo , que simplifica para .

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:
Agora, o lado esquerdo da equação é a derivada do produto , ou seja:

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos resolver para :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :

Resposta

A solução do PVI é:

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