Considere o problema de valor inicial (PVI):
:
a) Encontre a solução do PVI.
a) Encontre a solução do PVI.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema de valor inicial (PVI) dado por:
Aqui, o que estamos lidando é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar uma solução geral para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para a forma padrão de uma equação linear:
Dividindo ambos os lados da equação original por
:
Aqui, identificamos que:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante (
) que vai simplificar a equação. O fator integrante é dado por:
Explicando: Integramos
em relação a
, e como a integral de
é
, o fator integrante fica sendo
, que simplifica para
.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Agora, o lado esquerdo da equação é a derivada do produto
, ou seja:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos resolver para
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resposta
A solução do PVI é: