Calcule a área da região que fica entre o gráfico de
e o eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra calcular a área da região que fica entre o gráfico da função
e o eixo
. Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente integrais. Para resolver, vamos precisar entender como calcular áreas usando integrais definidas e aplicar isso na função dada.
Passo 2
Primeiro, precisamos visualizar o que está acontecendo. A função
é uma curva que fica acima do eixo
para todo
diferente de zero. Para calcular a área entre essa curva e o eixo
, precisamos definir os limites de integração. Vamos considerar o intervalo de
até
indo para o infinito, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos montar a integral definida que representa essa área. A integral de uma função
entre
e
dá a área sob a curva nesse intervalo. Então, a área
que queremos calcular é:
Passo 4
Vamos resolver essa integral. A integral de
é equivalente a
. Sabemos que a antiderivada de
é
, desde que
. Portanto:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Aplicando os limites de integração, temos:
Vamos calcular cada parte separadamente.
Passo 6
Primeiro, calculamos
. Conforme
vai para o infinito,
se aproxima de zero. Então:
Passo 7
Agora, a segunda parte é
.
Substituindo de volta na expressão da área:
Resposta
A área da região entre o gráfico de
e o eixo
no intervalo de
até
indo ao infinito é igual a 1 unidade de área.
Exercícios relacionados
(j)
.
(e)
.
Calcule as seguintes integrais impróprias (caso sejam convergentes)
Calcule as seguintes integrais impróprias (caso sejam convergentes)