Calcule a área da região que fica entre o gráfico de y = 1/x^2 e o eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra calcular a área da região que fica entre o gráfico da função e o eixo . Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente integrais. Para resolver, vamos precisar entender como calcular áreas usando integrais definidas e aplicar isso na função dada.

Passo 2

Primeiro, precisamos visualizar o que está acontecendo. A função é uma curva que fica acima do eixo para todo diferente de zero. Para calcular a área entre essa curva e o eixo , precisamos definir os limites de integração. Vamos considerar o intervalo de até indo para o infinito, ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos montar a integral definida que representa essa área. A integral de uma função entre e dá a área sob a curva nesse intervalo. Então, a área que queremos calcular é:

Passo 4

Vamos resolver essa integral. A integral de é equivalente a . Sabemos que a antiderivada de é , desde que . Portanto:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Aplicando os limites de integração, temos:
Vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 6

Primeiro, calculamos . Conforme vai para o infinito, se aproxima de zero. Então:

Passo 7

Agora, a segunda parte é .
Substituindo de volta na expressão da área:

Resposta

A área da região entre o gráfico de e o eixo no intervalo de até indo ao infinito é igual a 1 unidade de área.

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