Calcule as seguintes integrais impróprias (caso sejam convergentes)
integral0^2-1raiz(x-1)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral imprópria para resolver:
integral0^2-1raiz(x-1)^2 , dx
Esse tipo de integral cai no conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente em Integrais Impróprias. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com pontos onde a função fica indefinida ou “explode”, o que aqui acontece quando o denominador é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada. Sabemos que:
raiz(x-1)^2 = |x-1|
Então, a integral fica:
integral0^2 -1|x-1| , dx

Passo 3

Notamos que a função 1|x-1| tem um ponto problemático em x=1, porque aí o denominador vira zero, o que torna a função indefinida. Por isso, a integral é imprópria no ponto x=1.

Passo 4

Para resolver integrais impróprias, a gente usa limites. Vamos dividir a integral em duas partes, excluindo o ponto problemático:
lima to 0^+ ( integral0^1 - a -11 - x , dx + integral1 + a^2 -1x - 1 , dx )

Passo 5

Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Primeira Integral:
integral0^1 - a -11 - x , dx
Fazendo a substituição u = 1 - x, temos du = -dx.
A integral vira:
integral1^a 1u , du = ln|u| |1^a = ln(a) - ln(1) = ln(a)
Segunda Integral:
integral1 + a^2 -1x - 1 , dx
Aqui, substituímos u = x - 1, então du = dx.
A integral fica:
integrala^1 -1u , du = -ln|u| |a^1 = -ln(1) + ln(a) = ln(a)

Passo 6

Agora, somamos os resultados das duas integrais:
ln(a) + ln(a) = 2ln(a)
Quando a se aproxima de 0, ln(a) tende a -infty. Portanto:
2ln(a) to -infty

Resposta

A integral é divergente, ou seja, não converge para um valor finito.

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Calcule as seguintes integrais impróprias (caso sejam convergentes)
integral1^infty 1+e^-xx d x
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