Calcule as seguintes integrais impróprias (caso sejam convergentes)
integral1^infty 1+e^-xx d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral imprópria: integral1^infty 1 + e^-xx , dx. Primeiro, vamos entender o que isso significa. Uma integral imprópria é aquela que tem limites infinitos ou uma função que não é definida em algum ponto do intervalo. Aqui, o limite superior é o infinito. Vamos precisar saber como lidar com integrais que se estendem até o infinito e verificar se elas realmente têm um valor finito (ou seja, são convergentes).

Passo 2

Vamos começar dividindo a integral em duas partes para facilitar a análise:
integral1^infty 1 + e^-xx , dx = integral1^infty 1x , dx + integral1^infty e^-xx , dx
Assim, temos duas integrais separadas para resolver.

Passo 3

Primeiro, olhemos para a integral integral1^infty 1x , dx. Sabemos que 1x é uma função bem conhecida, e sua integral é o logaritmo natural:
integral 1x , dx = ln|x| + C
Agora, vamos avaliar essa integral de 1 até o infinito:
limb to infty ln(b) - ln(1) = limb to infty ln(b) - 0 = infty
Isso significa que a primeira parte da integral diverge, ou seja, não tem um valor finito.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda integral: integral1^infty e^-xx , dx. Essa integral é mais complicada e está relacionada a uma função especial chamada função integral exponencial. Contudo, sabemos que e^-x decai rapidamente para zero conforme x aumenta, o que sugere que essa parte da integral pode convergir.

Passo 5

Mesmo que a segunda integral convirja, precisamos considerar que a primeira parte já divergiu. Quando somamos uma quantidade infinita com algo finito, o resultado ainda é infinito. Portanto, a integral original:
integral1^infty 1 + e^-xx , dx
também diverge.

Resposta

A integral integral1^infty 1 + e^-xx , dx não converge; ela diverge para o infinito.

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Calcule as seguintes integrais impróprias (caso sejam convergentes)
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