Calcule as seguintes integrais impróprias (caso sejam convergentes)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral imprópria:
. Primeiro, vamos entender o que isso significa. Uma integral imprópria é aquela que tem limites infinitos ou uma função que não é definida em algum ponto do intervalo. Aqui, o limite superior é o infinito. Vamos precisar saber como lidar com integrais que se estendem até o infinito e verificar se elas realmente têm um valor finito (ou seja, são convergentes).
Passo 2
Vamos começar dividindo a integral em duas partes para facilitar a análise:
Assim, temos duas integrais separadas para resolver.
Passo 3
Primeiro, olhemos para a integral
. Sabemos que
é uma função bem conhecida, e sua integral é o logaritmo natural:
Agora, vamos avaliar essa integral de 1 até o infinito:
Isso significa que a primeira parte da integral diverge, ou seja, não tem um valor finito.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda integral:
. Essa integral é mais complicada e está relacionada a uma função especial chamada função integral exponencial. Contudo, sabemos que
decai rapidamente para zero conforme
aumenta, o que sugere que essa parte da integral pode convergir.
Passo 5
Mesmo que a segunda integral convirja, precisamos considerar que a primeira parte já divergiu. Quando somamos uma quantidade infinita com algo finito, o resultado ainda é infinito. Portanto, a integral original:
também diverge.
Resposta
A integral
não converge; ela diverge para o infinito.
Exercícios relacionados
Calcule a área da região que fica entre o gráfico de
e o eixo
.
(j)
.
Calcule as seguintes integrais impróprias (caso sejam convergentes)
(j)
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