Calcule a área da região finita delimitada pelo grafico da função f(x) = (1 + x - x^2) / x^2, pelo eixo x e pelas retas x = 1 e x = 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a área da região que é limitada pelo gráfico da função , pelo eixo e pelas retas verticais e . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente integração, que é usada para encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Para facilitar, podemos reescrever essa função:
Isso nos ajuda a ver melhor o comportamento da função.

Passo 3

Agora, precisamos saber onde a função cruza o eixo , ou seja, onde . Vamos resolver a equação:
Isso acontece quando o numerador é zero:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
As soluções são:
Como estamos considerando entre 1 e 3, a raiz relevante é aproximadamente 1,618.

Passo 4

Vamos analisar o sinal de nos intervalos de :
  • Para , vamos escolher :
    Ou seja, é positiva nesse intervalo.
  • Para , vamos escolher :
    Portanto, é negativa nesse intervalo.

Passo 5

Como a função muda de sinal em , a área total será a soma das áreas onde é positiva e onde é negativa (levando em conta o valor absoluto). Assim, temos:
Á

Passo 6

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro, calculemos :
Agora, aplicando isso aos limites de integração:
Para :
E para :

Passo 7

Vamos calcular cada parte:
  1. Primeira Integral:
Sabemos que , então:
  1. Segunda Integral:
Calculando:

Passo 8

Agora, somamos as duas partes para obter a área total:
Á

Passo 9

Vamos calcular os valores numéricos:
Sabemos que e . Substituindo:
Á

Resposta

A área da região limitada pelo gráfico da função , pelo eixo e pelas retas e é aproximadamente unidades de área.

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