Calcule a área da região finita delimitada pelo grafico da função
, pelo eixo
e pelas retas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a área da região que é limitada pelo gráfico da função
, pelo eixo
e pelas retas verticais
e
. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente integração, que é usada para encontrar áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Para facilitar, podemos reescrever essa função:
Isso nos ajuda a ver melhor o comportamento da função.
Passo 3
Agora, precisamos saber onde a função cruza o eixo
, ou seja, onde
. Vamos resolver a equação:
Isso acontece quando o numerador é zero:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
As soluções são:
Como estamos considerando
entre 1 e 3, a raiz relevante é aproximadamente 1,618.
Passo 4
Vamos analisar o sinal de
nos intervalos de
:
-
Para
, vamos escolher : Ou seja,é positiva nesse intervalo. -
Para
, vamos escolher : Portanto,é negativa nesse intervalo.
Passo 5
Como a função muda de sinal em
, a área total será a soma das áreas onde
é positiva e onde é negativa (levando em conta o valor absoluto). Assim, temos:
Passo 6
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro, calculemos
:
Agora, aplicando isso aos limites de integração:
Para
:
E para
:
Passo 7
Vamos calcular cada parte:
- Primeira Integral:
Sabemos que
, então:
- Segunda Integral:
Calculando:
Passo 8
Agora, somamos as duas partes para obter a área total:
Passo 9
Vamos calcular os valores numéricos:
Sabemos que
e
. Substituindo:
Resposta
A área da região limitada pelo gráfico da função
, pelo eixo
e pelas retas
e
é aproximadamente
unidades de área.