Calcule a integral usando integração por partes:
integral x^4(ln x)^2 d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Essa questão envolve integração por partes, uma técnica que usamos quando temos o produto de duas funções. Aqui, temos e multiplicados. Para resolver, vamos precisar identificar qual parte da integral será e qual será .

Passo 2

Lembra da fórmula de integração por partes? É . Vamos escolher porque derivar simplifica, e .

Passo 3

Agora, vamos calcular e :
  • Derivando : .
  • Integrando : .

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x^4(ln x)^2 , dx = uv - integral v , du = x^55 (ln x)^2 - integral x^55 cdot 2 ln xx , dx
Simplificando a segunda integral:
= x^55 (ln x)^2 - 25 integral x^4 ln x , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver usando integração por partes novamente. Vamos definir:

Passo 6

Aplicando integração por partes nessa nova integral:
integral x^4 ln x , dx = uv - integral v , du = x^55 ln x - integral x^55 cdot 1x , dx
Simplificando:
= x^55 ln x - 15 integral x^4 , dx
Integrando = x^55 ln x - 15 cdot x^55 + C = x^55 ln x - x^525 + C :

Passo 7

Voltando à etapa anterior:
integral x^4(ln x)^2 , dx = x^55 (ln x)^2 - 25 ( x^55 ln x - x^525 ) + C
Distribuindo o = x^55 (ln x)^2 - 2x^525 ln x + 2x^5125 + C :

Resposta

A integral x^55 (ln x)^2 - 2x^525 ln x + 2x^5125 + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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