Calcule área da região entre o gráfico da função
e as linha
e
, no primeiro quadrante do eixo
, é: (Resposta: 18 )
17
Resolva as integrais abaixo:
(a)
Resposta: 1
17
Resolva as integrais abaixo:
(a)
Passo 1
Vamos resolver o primeiro exercício que pede para calcular a área da região entre o gráfico da função
, a linha
e
no primeiro quadrante do plano cartesiano. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração definida, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os pontos de interseção entre as curvas
e
. Igualando as duas funções:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Tirando a raiz quadrada:
Como estamos no primeiro quadrante, consideramos
.
Passo 3
Agora, para encontrar a área entre as duas curvas de
a
, usamos a seguinte fórmula da área entre duas curvas:
Onde
é a função superior e
a função inferior. Nesse caso,
e
.
Passo 4
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Como estamos calculando uma integral definida, não precisamos da constante de integração
.
Passo 6
Aplicando os limites de integração de 0 a 3:
Passo 7
Agora, vamos resolver o segundo exercício que solicita o cálculo da integral definida de
de 0 a 1. Para isso, utilizaremos técnicas básicas de integração.
Passo 8
Primeiro, vamos expandir a expressão
para facilitar a integração:
Passo 9
Agora, a integral torna-se:
Passo 10
Vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 11
Somando as integrais:
Como é uma integral definida, podemos ignorar a constante
.
Passo 12
Aplicando os limites de 0 a 1:
Resposta
O valor da integral é 1.