Calcule área da região entre o gráfico da função e as linha e , no primeiro quadrante do eixo , é: (Resposta: 18 )
17
Resolva as integrais abaixo:
(a) Resposta: 1
Passo 1
Vamos resolver o primeiro exercício que pede para calcular a área da região entre o gráfico da função , a linha e no primeiro quadrante do plano cartesiano. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração definida, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os pontos de interseção entre as curvas e . Igualando as duas funções:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Tirando a raiz quadrada:
Como estamos no primeiro quadrante, consideramos .
Passo 3
Agora, para encontrar a área entre as duas curvas de a , usamos a seguinte fórmula da área entre duas curvas:
Onde é a função superior e a função inferior. Nesse caso, e .
Passo 4
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Como estamos calculando uma integral definida, não precisamos da constante de integração .
Passo 6
Aplicando os limites de integração de 0 a 3:
Passo 7
Agora, vamos resolver o segundo exercício que solicita o cálculo da integral definida de de 0 a 1. Para isso, utilizaremos técnicas básicas de integração.
Passo 8
Primeiro, vamos expandir a expressão para facilitar a integração:
Passo 9
Agora, a integral torna-se:
Passo 10
Vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 11
Somando as integrais:
Como é uma integral definida, podemos ignorar a constante .