Calcule área da região entre o gráfico da função y=x^2+1 e as linha y=10 e x=0, no primeiro quadrante do eixo x y, é: (Resposta: 18 )
17
Resolva as integrais abaixo:
(a) integral0^1(3 x-2)^2 d x=( Resposta: 1 )

Passo 1

Vamos resolver o primeiro exercício que pede para calcular a área da região entre o gráfico da função , a linha e no primeiro quadrante do plano cartesiano. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração definida, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os pontos de interseção entre as curvas x^2 + 1 = 10 e x^2 = 9 . Igualando as duas funções:
x = 3 ou x = -3
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Tirando a raiz quadrada:
Como estamos no primeiro quadrante, consideramos .

Passo 3

Agora, para encontrar a área entre as duas curvas de A = integrala^b [f(x) - g(x)] , dx a , usamos a seguinte fórmula da área entre duas curvas:
Onde é a função superior e a função inferior. Nesse caso, e .

Passo 4

Substituindo na fórmula:
A = integral0^3 [10 - (x^2 + 1)] , dx = integral0^3 (9 - x^2) , dx

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral (9 - x^2) , dx = 9x - x^33 + C
Como estamos calculando uma integral definida, não precisamos da constante de integração .

Passo 6

Aplicando os limites de integração de 0 a 3:
A = [9(3) - 3^33] - [9(0) - 0^33] = [27 - 9] - [0 - 0] = 18

Passo 7

Agora, vamos resolver o segundo exercício que solicita o cálculo da integral definida de de 0 a 1. Para isso, utilizaremos técnicas básicas de integração.

Passo 8

Primeiro, vamos expandir a expressão (3x - 2)^2 = 9x^2 - 12x + 4 para facilitar a integração:

Passo 9

Agora, a integral torna-se:
integral0^1 (9x^2 - 12x + 4) , dx

Passo 10

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 9x^2 , dx = 3x^3 integral -12x , dx = -6x^2 integral 4 , dx = 4x

Passo 11

Somando as integrais:
3x^3 - 6x^2 + 4x + C
Como é uma integral definida, podemos ignorar a constante .

Passo 12

Aplicando os limites de 0 a 1:
[3(1)^3 - 6(1)^2 + 4(1)] - [3(0)^3 - 6(0)^2 + 4(0)] = (3 - 6 + 4) - 0 = 1

Resposta

O valor da integral é 1.

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