Calcule as integrais abaixo utilizando o método mais adequado:
(k) Resposta:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a integral . Nesse exercício, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente usando o método de integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a fórmula de integração por partes, que é super útil quando temos o produto de duas funções, como e aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será e qual será . Uma boa estratégia é deixar como a função que fica mais simples quando derivada, e como a parte que conseguimos integrar facilmente.
Passo 3
No nosso caso, vamos escolher:
Agora, precisamos encontrar e . Vamos derivar e integrar :
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo , , :
Passo 5
Vamos simplificar a integral que ficou:
Passo 6
Agora, juntando tudo:
Onde é a constante de integração.
Passo 7
Mas atenção! Essa solução vale quando . Se , a integral muda de forma. Vamos resolver esse caso separadamente.