Calcule as integrais abaixo utilizando o método mais adequado:
(k) integral x^r ln (x) d x, r in R Resposta: clx^r+1r+1 ln (x)-x^r+1(r+1)^2+C & ser neq-1 ln ^2(x)2+C & ser =-1

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral . Nesse exercício, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente usando o método de integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a fórmula de integração por partes, que é super útil quando temos o produto de duas funções, como e aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será e qual será . Uma boa estratégia é deixar como a função que fica mais simples quando derivada, e como a parte que conseguimos integrar facilmente.

Passo 3

No nosso caso, vamos escolher:
u = ln(x) e dv = x^r , dx
Agora, precisamos encontrar du = 1x , dx (derivada de (ln(x))) v = integral x^r , dx = x^r+1r+1 (integrando (x^r)) e . Vamos derivar e integrar :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral x^r ln(x) , dx = uv - integral v , du
Substituindo = ln(x) cdot x^r+1r+1 - integral x^r+1r+1 cdot 1x , dx , , :

Passo 5

Vamos simplificar a integral que ficou:
integral x^r+1r+1 cdot 1x , dx = 1r+1 integral x^r , dx = 1r+1 cdot x^r+1r+1 = x^r+1(r+1)^2

Passo 6

Agora, juntando tudo:
integral x^r ln(x) , dx = x^r+1r+1 ln(x) - x^r+1(r+1)^2 + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Mas atenção! Essa solução vale quando . Se , a integral muda de forma. Vamos resolver esse caso separadamente.

Passo 8

Quando integral x^-1 ln(x) , dx = integral ln(x)x , dx , a integral fica:
ln^2(x)2 + C
Sabemos que a integral de é:

Resposta

integral x^r ln(x) , dx = x^r+1r+1 ln(x) - x^r+1(r+1)^2 + C & se r neq -1 ln^2(x)2 + C & se r = -1

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