Resolva as integrais abaixo:
(f) (Resposta: )

Passo 1

Vamos ver o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para resolver a integral definida de vezes a raiz de no intervalo de 0 a 4. Isso envolve cálculo de integrais que misturam funções polinomiais e radicais. Para resolver, vamos usar a técnica de substituição, também conhecida como u-substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que facilite a integral. Olhando para a expressão dentro da raiz, , faz sentido definir uma nova variável para simplificar essa parte. Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir na integral. Derivando, temos:
Isso nos dá a relação entre e :

Passo 3

Com a substituição feita, vamos reescrever a integral original em termos de :
Podemos simplificar isso para:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral de . Lembrando que , a integral fica:
A integral de é , então:

Passo 5

Agora, vamos voltar para a variável original . Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 6

Finalmente, vamos avaliar essa expressão nos limites de 0 a 4:
Simplificando:

Resposta

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