Resolva as integrais abaixo:
(f) integral0^4 x raiz16-x^2 d x (Resposta: 643 )

Passo 1

Vamos ver o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para resolver a integral definida de vezes a raiz de no intervalo de 0 a 4. Isso envolve cálculo de integrais que misturam funções polinomiais e radicais. Para resolver, vamos usar a técnica de substituição, também conhecida como u-substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que facilite a integral. Olhando para a expressão dentro da raiz, u = 16 - x^2 , faz sentido definir uma nova variável para simplificar essa parte. Vamos definir:
dudx = -2x
Agora, precisamos encontrar a derivada de du = -2x , dx em relação a x , dx = -du2 para substituir na integral. Derivando, temos:
Isso nos dá a relação entre e :

Passo 3

Com a substituição feita, vamos reescrever a integral original em termos de integral0^4 x raiz16 - x^2 , dx = integral raizu cdot (-du2) :
-12 integral raizu , du
Podemos simplificar isso para:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral de -12 integral u^1/2 , du . Lembrando que -12 cdot u^3/23/2 = -12 cdot 23 u^3/2 = -13 u^3/2 , a integral fica:
A integral de é , então:

Passo 5

Agora, vamos voltar para a variável original -13 (16 - x^2)^3/2 . Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 6

Finalmente, vamos avaliar essa expressão nos limites de 0 a 4:
[-13 (16 - 4^2)^3/2] - [-13 (16 - 0^2)^3/2]
Simplificando:
-13 (16 - 16)^3/2 + 13 (16)^3/2 = 0 + 13 cdot 64 = 643

Resposta

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