Resolva as integrais abaixo:
(f)
(Resposta:
)
(f)
Passo 1
Vamos ver o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para resolver a integral definida de
vezes a raiz de
no intervalo de 0 a 4. Isso envolve cálculo de integrais que misturam funções polinomiais e radicais. Para resolver, vamos usar a técnica de substituição, também conhecida como u-substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que facilite a integral. Olhando para a expressão dentro da raiz,
, faz sentido definir uma nova variável para simplificar essa parte. Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir na integral. Derivando, temos:
Isso nos dá a relação entre
e
:
Passo 3
Com a substituição feita, vamos reescrever a integral original em termos de
:
Podemos simplificar isso para:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral de
. Lembrando que
, a integral fica:
A integral de
é
, então:
Passo 5
Agora, vamos voltar para a variável original
. Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 6
Finalmente, vamos avaliar essa expressão nos limites de 0 a 4:
Simplificando: