Resolva as integrais abaixo:
(i) integral1^infty x(1+x^2)^2 d x (Resposta: 14 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral1^infty x(1+x^2)^2 , dx. Aqui, trabalharemos com cálculo integral, mais especificamente usando a técnica de substituição para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da integral. Vamos deixar:
u = 1 + x^2
Agora, derivando ambos os lados em relação a dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx :
Isso nos permite substituir na integral por .

Passo 3

Substituindo na integral original:
integral1^infty x(1+x^2)^2 , dx = integralx=1^x=infty xu^2 , dx = integralu=2^u=infty 1u^2 cdot du2
Simplificando:
12 integral2^infty 1u^2 , du

Passo 4

Agora, vamos integrar integral 1u^2 , du = -1u + C :
12 [ -1u ]2^infty = 12 ( 0 - ( -12 ) ) = 12 cdot 12 = 14
Aplicando os limites de integração:

Resposta

O valor da integral é 14.

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