Calcule a área da região limitada pela curva e pela curva .

Passo 1

Beleza, então a gente precisa calcular a área da região que está limitada pela curva e pela curva paramétrica para entre 0 e 1. Vamos usar cálculo integral para resolver isso, especificamente integrando a diferença das funções sobre o intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram. Ou seja, precisamos achar os valores de que satisfazem e ao mesmo tempo.
Sabemos que na curva paramétrica:
Substituindo na equação :
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Expandindo o lado esquerdo:
Subtraindo de ambos os lados:
Então:
Factorizando:
Portanto, ou .

Passo 3

Agora que sabemos que as curvas se intersectam em e , vamos calcular a área entre elas nesse intervalo. A fórmula geral para a área entre duas curvas parametrizadas é:
Á
Aqui, é a curva que está por cima e é a que está por baixo.

Passo 4

Vamos identificar qual curva está por cima no intervalo de a .
Na curva , substituindo :
Na curva paramétrica:
é
Para verificar qual está por cima, podemos comparar os valores em , por exemplo:
é
Então, está por cima de é nesse intervalo.

Passo 5

Agora, calculamos para a curva paramétrica:
Então, a expressão para a área fica:
Á

Passo 6

Essa integral pode ser complicada para resolver analiticamente, então vamos calcular numericamente. Utilizando métodos de integração numérica, como o método de Simpson ou utilizando uma calculadora científica avançada, podemos aproximar o valor da integral.
Após realizar a integração numérica, obtemos:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é aproximadamente unidades de área.

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