Calcule a área da região limitada pela curva
e pela curva
.
Passo 1
Beleza, então a gente precisa calcular a área da região que está limitada pela curva
e pela curva paramétrica
para
entre 0 e 1. Vamos usar cálculo integral para resolver isso, especificamente integrando a diferença das funções sobre o intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram. Ou seja, precisamos achar os valores de
que satisfazem
e
ao mesmo tempo.
Sabemos que na curva paramétrica:
Substituindo
na equação
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Expandindo o lado esquerdo:
Subtraindo
de ambos os lados:
Então:
Factorizando:
Portanto,
ou
.
Passo 3
Agora que sabemos que as curvas se intersectam em
e
, vamos calcular a área entre elas nesse intervalo. A fórmula geral para a área entre duas curvas parametrizadas é:
Aqui,
é a curva que está por cima e
é a que está por baixo.
Passo 4
Vamos identificar qual curva está por cima no intervalo de
a
.
Na curva
, substituindo
:
Na curva paramétrica:
Para verificar qual está por cima, podemos comparar os valores em
, por exemplo:
Então,
está por cima de
nesse intervalo.
Passo 5
Agora, calculamos
para a curva paramétrica:
Então, a expressão para a área fica:
Passo 6
Essa integral pode ser complicada para resolver analiticamente, então vamos calcular numericamente. Utilizando métodos de integração numérica, como o método de Simpson ou utilizando uma calculadora científica avançada, podemos aproximar o valor da integral.
Após realizar a integração numérica, obtemos:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é aproximadamente
unidades de área.
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Mostre que o campo vetorial
é conservativo e calcule
, onde
Seja
. Calcule
, onde
é um quadrado de vértices
e
orientado no sentido anti-horário.
Mostre que