Mostre que o campo vetorial é conservativo e calcule , onde

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial e precisamos mostrar que ele é conservativo. Além disso, precisamos calcular a integral de linha onde , para .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como calcular integrais de linha usando uma função potencial.

Passo 2

Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial tal que . Em duas dimensões, isso significa que:
Vamos verificar se essa condição é verdadeira para o campo dado.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Calculando a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Observamos que:
Como as derivadas parciais são iguais, isso indica que é um campo conservativo.

Passo 6

Como é conservativo, existe uma função potencial tal que . Vamos encontrar essa função potencial integrando em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .

Passo 7

Vamos resolver a integral. Seja , então . Assim:
Agora, derivamos em relação a para encontrar :
Mas sabemos que , então:
Isso implica que , ou seja, é uma constante. Portanto, a função potencial é:

Passo 8

Para calcular a integral de linha , podemos usar a função potencial . A integral de linha de um campo conservativo depende apenas dos pontos inicial e final do caminho.
Os pontos inicial e final são:
  • Quando :
  • Quando :

Passo 9

Calculando nos pontos finais:

Passo 10

A integral de linha é a diferença dos valores de nos pontos finais:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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