Mostre que o campo vetorial F(x, y)=(2 x y e^x^2+y^2, e^x^2+y^2+2 y^2 e^x^2+y^2) é conservativo e calcule integralgamma F d gamma, onde gamma(t)=(cos t, sen t), 0 <= t <= pi2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial e precisamos mostrar que ele é conservativo. Além disso, precisamos calcular a integral de linha onde , para .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como calcular integrais de linha usando uma função potencial.

Passo 2

Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial partial F1partial y = partial F2partial x tal que . Em duas dimensões, isso significa que:
Vamos verificar se essa condição é verdadeira para o campo dado.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de F1 = 2xy e^x^2+y^2 partial F1partial y = 2x e^x^2+y^2 + 2xy cdot 2y e^x^2+y^2 = 2x e^x^2+y^2 + 4xy^2 e^x^2+y^2 em relação a :

Passo 4

Calculando a derivada parcial de F2 = e^x^2+y^2 + 2 y^2 e^x^2+y^2 partial F2partial x = 2x e^x^2+y^2 + 2 y^2 cdot 2x e^x^2+y^2 = 2x e^x^2+y^2 + 4xy^2 e^x^2+y^2 em relação a :

Passo 5

Observamos que:
partial F1partial y = partial F2partial x = 2x e^x^2+y^2 + 4xy^2 e^x^2+y^2
Como as derivadas parciais são iguais, isso indica que é um campo conservativo.

Passo 6

Como phi(x, y) = integral 2xy e^x^2+y^2 , dx + h(y) é conservativo, existe uma função potencial tal que . Vamos encontrar essa função potencial integrando em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .

Passo 7

Vamos resolver a integral. Seja phi(x, y) = y e^x^2+y^2 + h(y) , então partial phipartial y = e^x^2+y^2 + y cdot 2y e^x^2+y^2 + h'(y) = e^x^2+y^2 + 2y^2 e^x^2+y^2 + h'(y) . Assim:
e^x^2+y^2 + 2y^2 e^x^2+y^2 + h'(y) = e^x^2+y^2 + 2y^2 e^x^2+y^2
Agora, derivamos phi(x, y) = y e^x^2+y^2 + C em relação a para encontrar :
Mas sabemos que , então:
Isso implica que , ou seja, é uma constante. Portanto, a função potencial é:

Passo 8

Para calcular a integral de linha , podemos usar a função potencial . A integral de linha de um campo conservativo depende apenas dos pontos inicial e final do caminho.
Os pontos inicial e final são:
  • Quando :
  • Quando :

Passo 9

Calculando phi(1, 0) = 0 cdot e^1^2+0^2 = 0 phi(0, 1) = 1 cdot e^0^2+1^2 = e nos pontos finais:

Passo 10

A integral de linha é a diferença dos valores de integralgamma F cdot dgamma = phi(0,1) - phi(1,0) = e - 0 = e nos pontos finais:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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