Mostre que o campo vetorial
é conservativo e calcule
, onde
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial
e precisamos mostrar que ele é conservativo. Além disso, precisamos calcular a integral de linha
onde , para
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como calcular integrais de linha usando uma função potencial.
Passo 2
Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Em duas dimensões, isso significa que:
Vamos verificar se essa condição é verdadeira para o campo
dado.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Observamos que:
Como as derivadas parciais são iguais, isso indica que
é um campo conservativo.
Passo 6
Como
é conservativo, existe uma função potencial
tal que
. Vamos encontrar essa função potencial integrando
em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 7
Vamos resolver a integral. Seja
, então
. Assim:
Agora, derivamos
em relação a
para encontrar
:
Mas sabemos que
, então:
Isso implica que
, ou seja,
é uma constante. Portanto, a função potencial é:
Passo 8
Para calcular a integral de linha
, podemos usar a função potencial
. A integral de linha de um campo conservativo depende apenas dos pontos inicial e final do caminho.
Os pontos inicial e final são:
- Quando
: - Quando
:
Passo 9
Calculando
nos pontos finais:
Passo 10
A integral de linha é a diferença dos valores de
nos pontos finais:
Resposta
A integral de linha
é igual a
.
Exercícios relacionados
Seja
. Calcule
, onde
é um quadrado de vértices
e
orientado no sentido anti-horário.
Calcule
, onde
é um triângulo com vértices
e
orientado no sentido anti-horário.
Calcule a área da região limitada pela curva
e pela curva
.