Seja F(x, y)=(-y(x-1)^2+y^2+x^2 y, x-1(x-1)^2+y^2). Calcule integralC F d C, onde C é um quadrado de vértices (0,-1),(0,1),(2,-1) e (2,1) orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Então, a gente tem um campo vetorial e precisa calcular a integral de linha , onde é um quadrado com vértices em , , e , percorrido no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green para resolver isso, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região limitada pela curva .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Green. Ele diz que para um campo vetorial ointC F cdot dC = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy , a integral de linha ao redor de é igual à integral dupla sobre a região limitada por de :

Passo 3

Identificamos P(x, y) = -y(x-1)^2+y^2 + x^2 y e Q(x, y) = x-1(x-1)^2+y^2 no nosso campo vetorial:
Vamos precisar calcular as derivadas parciais e .

Passo 4

Calculando Q(x, y) = x-1(x-1)^2+y^2 = uu^2 + y^2, onde u = x - 1 :
partial Qpartial x = (1)(u^2 + y^2) - u(2u)(u^2 + y^2)^2 = u^2 + y^2 - 2u^2(u^2 + y^2)^2 = -u^2 + y^2(u^2 + y^2)^2 = y^2 - (x-1)^2((x-1)^2 + y^2)^2
Usando a regra do quociente:

Passo 5

Agora, calculando P(x, y) = -y(x-1)^2+y^2 + x^2 y :
partial Ppartial y = -(1)( (x-1)^2+y^2) - y(2y)((x-1)^2+y^2)^2 + x^2 = -(x-1)^2 + y^2 - 2y^2((x-1)^2+y^2)^2 + x^2 = -(x-1)^2 - y^2((x-1)^2+y^2)^2 + x^2
Derivando em relação a :

Passo 6

Agora, vamos calcular partial Qpartial x - partial Ppartial y = y^2 - (x-1)^2((x-1)^2 + y^2)^2 - ( -(x-1)^2 - y^2((x-1)^2+y^2)^2 + x^2 ) = y^2 - (x-1)^2 + (x-1)^2 - y^2((x-1)^2 + y^2)^2 - x^2 = -x^2 :

Passo 7

Então, a integral dupla fica:
integral duplaD (-x^2) , dx , dy = -integral duplaD x^2 , dx , dy
Agora, precisamos calcular essa integral sobre a região , que é o quadrado com de 0 a 2 e de -1 a 1.

Passo 8

Vamos integrar integral duplaD x^2 , dx , dy = integral0^2 ( integral-1^1 x^2 , dy ) dx = integral0^2 x^2 ( y g|-1^1 ) dx = integral0^2 x^2 (1 - (-1)) , dx = 2 integral0^2 x^2 , dx primeiro em :

Passo 9

Calculando a integral em 2 integral0^2 x^2 , dx = 2 ( x^33 g|0^2 ) = 2 ( 83 - 0 ) = 163 :

Resposta

A integral é igual a .

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