Seja . Calcule , onde é um quadrado de vértices e orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Então, a gente tem um campo vetorial e precisa calcular a integral de linha , onde é um quadrado com vértices em , , e , percorrido no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green para resolver isso, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região limitada pela curva .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Green. Ele diz que para um campo vetorial , a integral de linha ao redor de é igual à integral dupla sobre a região limitada por de :

Passo 3

Identificamos e no nosso campo vetorial:
Vamos precisar calcular as derivadas parciais e .

Passo 4

Calculando :
Usando a regra do quociente:

Passo 5

Agora, calculando :
Derivando em relação a :

Passo 6

Agora, vamos calcular :

Passo 7

Então, a integral dupla fica:
Agora, precisamos calcular essa integral sobre a região , que é o quadrado com de 0 a 2 e de -1 a 1.

Passo 8

Vamos integrar primeiro em :

Passo 9

Calculando a integral em :

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule , onde é um triângulo com vértices e orientado no sentido anti-horário.
Calcule , onde e é a elípse , orientada no sentido antihorário.
Mostre que o campo vetorial é conservativo e calcule , onde
Calcule a área da região limitada pela curva e pela curva .