Seja . Calcule , onde é um quadrado de vértices e orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
Então, a gente tem um campo vetorial e precisa calcular a integral de linha , onde é um quadrado com vértices em , , e , percorrido no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green para resolver isso, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região limitada pela curva .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Green. Ele diz que para um campo vetorial , a integral de linha ao redor de é igual à integral dupla sobre a região limitada por de :
Passo 3
Identificamos e no nosso campo vetorial:
Vamos precisar calcular as derivadas parciais e .
Passo 4
Calculando :
Usando a regra do quociente:
Passo 5
Agora, calculando :
Derivando em relação a :
Passo 6
Agora, vamos calcular :
Passo 7
Então, a integral dupla fica:
Agora, precisamos calcular essa integral sobre a região , que é o quadrado com de 0 a 2 e de -1 a 1.