Passo 1

Então, o enunciado nos apresenta uma função de duas variáveis, , que é definida de forma diferente dependendo se o ponto é ou não. O conteúdo relacionado aqui é o cálculo de limites em funções de várias variáveis. Vamos precisar entender como verificar se o limite de existe quando se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a definição da função:
Queremos verificar se o limite existe e, se existir, qual é o valor.

Passo 3

Para encontrar esse limite, precisamos verificar se o valor de se aproxima do mesmo número independentemente do caminho pelo qual se aproxima de . Vamos testar alguns caminhos diferentes.

Passo 4

Primeiro, vamos considerar o caminho onde , onde é uma constante qualquer. Substituindo na função:
À medida que se aproxima de 0, o valor de se aproxima de .

Passo 5

Perceba que o valor do limite depende do valor de . Por exemplo:
  • Se , então .
  • Se , então .
  • Se , então .

Passo 6

Como estamos obtendo diferentes valores para o limite dependendo do caminho escolhido (diferentes valores de ), isso indica que o limite não é o mesmo em todos os caminhos.

Resposta

Portanto, o limite não existe.

Exercícios relacionados

Calcule a área da região limitada pela curva e pela curva .
Mostre que o campo vetorial é conservativo e calcule , onde
Mostre que
Com base nas séries acima pede-se: Faça uma análise para cada uma das séries se elas divergem ou convergem. Se convergem, para qual valor elas convergem?