Passo 1
Então, o enunciado nos apresenta uma função de duas variáveis,
, que é definida de forma diferente dependendo se o ponto
é
ou não. O conteúdo relacionado aqui é o cálculo de limites em funções de várias variáveis. Vamos precisar entender como verificar se o limite de
existe quando
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a definição da função:
Queremos verificar se o limite
existe e, se existir, qual é o valor.
Passo 3
Para encontrar esse limite, precisamos verificar se o valor de
se aproxima do mesmo número independentemente do caminho pelo qual
se aproxima de
. Vamos testar alguns caminhos diferentes.
Passo 4
Primeiro, vamos considerar o caminho onde
, onde
é uma constante qualquer. Substituindo na função:
À medida que
se aproxima de 0, o valor de
se aproxima de
.
Passo 5
Perceba que o valor do limite depende do valor de
. Por exemplo:
- Se
, então . - Se
, então . - Se
, então .
Passo 6
Como estamos obtendo diferentes valores para o limite dependendo do caminho escolhido (diferentes valores de
), isso indica que o limite não é o mesmo em todos os caminhos.
Resposta
Portanto, o limite
não existe.
Exercícios relacionados
Calcule a área da região limitada pela curva
e pela curva
.
Mostre que o campo vetorial
é conservativo e calcule
, onde
Mostre que
Com base nas séries acima pede-se: Faça uma análise para cada uma das séries se elas divergem ou convergem. Se convergem, para qual valor elas convergem?