Mostre que integral d ua^2-u^2=12 a ln |u+au-a|+C

Passo 1

Então, a gente tem que resolver a integral . Aqui estamos lidando com uma integral que envolve uma expressão racional, ou seja, uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais ou reconhecer uma forma padrão de integral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o denominador a^2 - u^2 = (a - u)(a + u) . Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
Isso ajuda a simplificar a integral e a identificar a melhor maneira de resolver.

Passo 3

Agora que temos o denominador fatorado, a integral fica:
integral d u(a - u)(a + u)
Sabemos que integrais desse tipo podem ser resolvidas usando a regra de integração para frações parciais, mas nesse caso específico, vamos usar uma substituição direta.

Passo 4

Vamos lembrar uma regra fundamental da integração:
integral dxa^2 - x^2 = 12a ln | a + xa - x | + C
Essa fórmula é aplicável quando temos uma diferença de quadrados no denominador, exatamente como neste exercício.

Passo 5

Aplicando essa fórmula diretamente na nossa integral:
integral d ua^2-u^2 = 12a ln | a + ua - u | + C
Onde é a constante de integração que sempre adicionamos no final das integrais indefinidas.

Resposta

Portanto, a solução da integral é:
integral d ua^2-u^2 = 12 a ln |u+au-a| + C

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