Calcule a área da região limitada pela curva
sent,
cost ,
, e pelo eixo
Passo 1
Beleza! Vamos calcular a área da região limitada pela curva definida por
e
, onde
varia de
a
, e também pelo eixo
. Esse exercício está dentro do conteúdo de cálculo de áreas em curvas paramétricas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções paramétricas e usar algumas identidades trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva que estamos analisando. As equações paramétricas são:
Aqui,
é o parâmetro que varia de
a
. Essa curva é conhecida como cicloide, que é o caminho percorrido por um ponto na borda de uma roda que rola sem deslizar.
Passo 3
Para encontrar a área limitada por essa curva e pelo eixo
, vamos usar a fórmula da área para curvas paramétricas:
Onde
é a derivada de
em relação a
. No nosso caso,
e
.
Passo 4
Vamos calcular
:
Então, substituindo na fórmula da área:
Passo 5
Agora, vamos expandir o integrando:
Portanto, a integral vira:
Passo 6
Vamos integrar cada termo separadamente:
-
-
(porque a integral de de 0 a é zero) - Para
, usamos a identidade trigonométrica:
Então,
Passo 7
Somando todos os resultados:
Resposta
A área da região limitada pela curva e pelo eixo
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Justifique a igualdade
, onde
cost, sent
e
.
Calcule o comprimento do arco da hélice circular de equação
do ponto
até o ponto
.
Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
©
©
Seja
, calcule uma aproximação para
.