Calcule a área da região limitada pela curva x = t - sent, y = 1 - cost , 0 <= t <= 2 pi, e pelo eixo O x

Passo 1

Beleza! Vamos calcular a área da região limitada pela curva definida por e , onde varia de a , e também pelo eixo . Esse exercício está dentro do conteúdo de cálculo de áreas em curvas paramétricas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções paramétricas e usar algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva que estamos analisando. As equações paramétricas são:
Aqui, é o parâmetro que varia de a . Essa curva é conhecida como cicloide, que é o caminho percorrido por um ponto na borda de uma roda que rola sem deslizar.

Passo 3

Para encontrar a área limitada por essa curva e pelo eixo , vamos usar a fórmula da área para curvas paramétricas:
Onde é a derivada de em relação a . No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos calcular :
Então, substituindo na fórmula da área:

Passo 5

Agora, vamos expandir o integrando:
Portanto, a integral vira:

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. (porque a integral de de 0 a é zero)
  2. Para , usamos a identidade trigonométrica:
Então,

Passo 7

Somando todos os resultados:

Resposta

A área da região limitada pela curva e pelo eixo é unidades de área.

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Justifique a igualdade integralgamma1 F d gamma1=integralgamma2 F d gamma2, onde gamma1(t)=( cost, sent ), 0 <= t <= 2 pi e gamma2(u)=(cos (2 pi-u), sen(2 pi-u)), 0 <= u <= 2 pi.
Calcule o comprimento do arco da hélice circular de equação sigma(t) = (cost, sent, t) do ponto (1, 0, 0) até o ponto 1, 0, 2 pi.
Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
© x = cos^2(t), y = sen^2(t), t em R
Seja f(x, y) = x * e^(x * y), calcule uma aproximação para f(1.1, 0.1).