Justifique a igualdade
, onde
cost, sent
e
.
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede para justificar que a integral de um campo vetorial
ao longo da curva
é igual à integral ao longo da curva
. Estamos trabalhando com integrais de linha, que são usadas para calcular, por exemplo, trabalho realizado por um campo vetorial ao mover um objeto ao longo de uma curva. As parametrizações das curvas são dadas por:
- para
- para
Vamos precisar entender como essas duas curvas estão relacionadas para provar que as integrais delas são iguais.
Passo 2
Primeiro, observamos as parametrizações das curvas. A curva descreve um círculo unitário percorrido de
a
, o que significa que estamos dando a volta completa no sentido anti-horário.
Agora, vamos ver o que acontece com . Podemos simplificar isso usando identidades trigonométricas:
Portanto, . Isso significa que a curva
percorre o mesmo círculo, mas de forma diferente no eixo y.
Passo 3
Agora, vamos analisar a orientação das curvas. A curva
vai de
a
, percorrendo o círculo no sentido anti-horário. Já a curva
, com
indo de
a
, percorre o círculo no sentido horário devido ao sinal negativo no componente y.
Em integrais de linha, a direção em que percorremos a curva pode afetar o resultado da integral. Geralmente, percursos em direções opostas resultam em integrais de sinais opostos, a menos que o campo vetorial tenha certas simetrias.
Passo 4
Vamos agora ver como essas duas parametrizações estão relacionadas. Se fizermos a substituição
, onde quando
,
, e quando
,
. Isso inverte os limites de integração, mas também inverte a direção do percurso.
Ao mudar a variável de integração, temos que
. Isso significa que podemos reescrever a integral sobre
em termos de
:
Passo 5
Nessa última etapa, observamos que, apesar das curvas
e
terem orientações opostas, a substituição de variável e a mudança nos limites de integração fazem com que as duas integrais se igualem. Assim, mostramos que:
Resposta
Portanto, as integrais das curvas
e
são iguais.
Exercícios relacionados
Calcule o comprimento do arco da hélice circular de equação
do ponto
até o ponto
.
Esboce o gráfico das funções abaixo :
c)
c)
Calcule a área da região limitada pela curva
sent,
cost ,
, e pelo eixo
Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
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