Justifique a igualdade integralgamma1 F d gamma1=integralgamma2 F d gamma2, onde gamma1(t)=( cost, sent ), 0 <= t <= 2 pi e gamma2(u)=(cos (2 pi-u), sen(2 pi-u)), 0 <= u <= 2 pi.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para justificar que a integral de um campo vetorial F ao longo da curva gamma1 é igual à integral ao longo da curva gamma2. Estamos trabalhando com integrais de linha, que são usadas para calcular, por exemplo, trabalho realizado por um campo vetorial ao mover um objeto ao longo de uma curva. As parametrizações das curvas são dadas por:
  • para gamma1(t) = (cos t, sen t)
  • para 0 <= t <= 2pi
Vamos precisar entender como essas duas curvas estão relacionadas para provar que as integrais delas são iguais.

Passo 2

Primeiro, observamos as parametrizações das curvas. A curva descreve um círculo unitário percorrido de gamma1(t) = (cos t, sen t) a t = 0, o que significa que estamos dando a volta completa no sentido anti-horário.
Agora, vamos ver o que acontece com . Podemos simplificar isso usando identidades trigonométricas:
  • t = 2pi
Portanto, . Isso significa que a curva gamma2(u) = (cos (2pi - u), sen (2pi - u)) percorre o mesmo círculo, mas de forma diferente no eixo y.

Passo 3

Agora, vamos analisar a orientação das curvas. A curva gamma1 vai de t = 0 a t = 2pi, percorrendo o círculo no sentido anti-horário. Já a curva gamma2, com u indo de 0 a 2pi, percorre o círculo no sentido horário devido ao sinal negativo no componente y.
Em integrais de linha, a direção em que percorremos a curva pode afetar o resultado da integral. Geralmente, percursos em direções opostas resultam em integrais de sinais opostos, a menos que o campo vetorial tenha certas simetrias.

Passo 4

Vamos agora ver como essas duas parametrizações estão relacionadas. Se fizermos a substituição u = 2pi - t, onde quando t = 0, u = 2pi, e quando t = 2pi, u = 0. Isso inverte os limites de integração, mas também inverte a direção do percurso.
Ao mudar a variável de integração, temos que du = -dt. Isso significa que podemos reescrever a integral sobre gamma2 em termos de t:
integralgamma2 F , dgamma2 = integral2pi^0 F(gamma2(u)) cdot gamma2'(u) , du = integral0^2pi F(gamma1(t)) cdot gamma1'(t) , dt = integralgamma1 F , dgamma1

Passo 5

Nessa última etapa, observamos que, apesar das curvas gamma1 e gamma2 terem orientações opostas, a substituição de variável e a mudança nos limites de integração fazem com que as duas integrais se igualem. Assim, mostramos que:
integralgamma1 F , dgamma1 = integralgamma2 F , dgamma2

Resposta

Portanto, as integrais das curvas gamma1 e gamma2 são iguais.

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© x = cos^2(t), y = sen^2(t), t em R