Se vec(r)(t) != vetor(0), mostre que d/dt |r(t)| = (1/|r(t)|) * r(t) * r'(t)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um vetor função vec(r)(t) que nunca é o vetor zero, ou seja, vec(r)(t) != vetor(0). O objetivo é mostrar que a derivada do módulo desse vetor em relação a vec(r)(t) é igual ao produto escalar do vetor r'(t) com sua derivada vec(r)(t), dividido pelo módulo de . Para resolver isso, vamos precisar conhecer conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e produto escalar.

Passo 2

Primeiramente, lembremos que o módulo de um vetor vec(r)(t) é dado por:
Isso significa que o módulo é a raiz quadrada do produto escalar do vetor consigo mesmo.

Passo 3

Agora, vamos derivar o módulo de vec(r)(t) em relação a . Aplicando a regra da derivada para funções compostas, temos:

Passo 4

Derivando a expressão acima, obtemos:
Aqui, usamos a regra da cadeia e lembramos que a derivada de em relação a é .

Passo 5

Simplificando a expressão, os 2 se cancelam:

Passo 6

Reconhecendo que é exatamente , podemos reescrever a equação como:

Resposta

Assim, mostramos que:

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