Se
, mostre que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um vetor função
que nunca é o vetor zero, ou seja,
. O objetivo é mostrar que a derivada do módulo desse vetor em relação a
é igual ao produto escalar do vetor
com sua derivada
, dividido pelo módulo de
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e produto escalar.
Passo 2
Primeiramente, lembremos que o módulo de um vetor
é dado por:
Isso significa que o módulo é a raiz quadrada do produto escalar do vetor consigo mesmo.
Passo 3
Agora, vamos derivar o módulo de
em relação a
. Aplicando a regra da derivada para funções compostas, temos:
Passo 4
Derivando a expressão acima, obtemos:
Aqui, usamos a regra da cadeia e lembramos que a derivada de
em relação a
é
.
Passo 5
Simplificando a expressão, os 2 se cancelam:
Passo 6
Reconhecendo que
é exatamente
, podemos reescrever a equação como:
Resposta
Assim, mostramos que: