Se , mostre que

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um vetor função que nunca é o vetor zero, ou seja, . O objetivo é mostrar que a derivada do módulo desse vetor em relação a é igual ao produto escalar do vetor com sua derivada , dividido pelo módulo de . Para resolver isso, vamos precisar conhecer conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e produto escalar.

Passo 2

Primeiramente, lembremos que o módulo de um vetor é dado por:
Isso significa que o módulo é a raiz quadrada do produto escalar do vetor consigo mesmo.

Passo 3

Agora, vamos derivar o módulo de em relação a . Aplicando a regra da derivada para funções compostas, temos:

Passo 4

Derivando a expressão acima, obtemos:
Aqui, usamos a regra da cadeia e lembramos que a derivada de em relação a é .

Passo 5

Simplificando a expressão, os 2 se cancelam:

Passo 6

Reconhecendo que é exatamente , podemos reescrever a equação como:

Resposta

Assim, mostramos que:

Exercícios relacionados

Determinar a derivada das seguintes funções:
Considere e duas funções vetoriais e uma função real, definidas em um mesmo intervalo I. Mostre que, se e , então:
Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas em cada item abaixo, no ponto especificado:
Calcule a área da região limitada pelas curvas das equaçöes
Dica: Observe na integração a região onde e a região onde .
А)
B)
C)
D)
E)