A figura abaixo mostra três caminhos de à . Calcule a integral de linha de
Figura 1: Os caminhos de à .
Sobre o caminho retilíneo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo de um caminho retilíneo que vai de até . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar o caminho e depois calcular a integral usando essa parametrização.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar o caminho retilíneo de a . Como é uma linha reta horizontal, podemos expressar as coordenadas e em termos de um parâmetro , que varia de 0 a 1.
Vamos definir:
onde varia de 0 a 1. Quando , e ; quando , e .
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas das parametrizações para usar na fórmula da integral de linha. As derivadas e são:
Essas derivadas nos dão a taxa de variação das coordenadas ao longo do parâmetro .
Passo 4
Em seguida, substituímos e no campo vetorial :
Isso simplifica o campo ao longo do caminho escolhido.
Passo 5
A fórmula da integral de linha para um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada de a é:
No nosso caso:
Passo 6
Substituindo na fórmula:
Agora, vamos resolver essa integral.
Passo 7
Expandindo :
Portanto, a integral fica:
Passo 8
Calculando cada parte:
Substituindo de volta:
Resposta
A integral de linha do campo ao longo do caminho retilíneo de a é igual a .