A figura abaixo mostra três caminhos de 1,0 à (-1, 0). Calcule a integral de linha de
F(x, y) = (x^2, y)
Figura 1: Os caminhos de 1,0 à (-1, 0).
Sobre o caminho retilíneo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo de um caminho retilíneo que vai de até . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar o caminho e depois calcular a integral usando essa parametrização.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar o caminho retilíneo de a . Como é uma linha reta horizontal, podemos expressar as coordenadas e em termos de um parâmetro , que varia de 0 a 1.
Vamos definir:
onde varia de 0 a 1. Quando , e ; quando , e .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas das parametrizações para usar na fórmula da integral de linha. As derivadas e são:
Essas derivadas nos dão a taxa de variação das coordenadas ao longo do parâmetro .

Passo 4

Em seguida, substituímos e no campo vetorial :
Isso simplifica o campo ao longo do caminho escolhido.

Passo 5

A fórmula da integral de linha para um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada de a é:
No nosso caso:

Passo 6

Substituindo na fórmula:
Agora, vamos resolver essa integral.

Passo 7

Expandindo :
Portanto, a integral fica:

Passo 8

Calculando cada parte:
Substituindo de volta:

Resposta

A integral de linha do campo ao longo do caminho retilíneo de a é igual a .

Exercícios relacionados