Calcule a área da região limitada entre as curvas e .
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo que pede para calcular a área da região limitada entre as curvas e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e interseção de curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde as duas curvas se intersectam. Isso significa que vamos igualar as duas equações:
Vamos substituir da segunda equação na primeira:
Passo 3
Agora, vamos expandir e resolver a equação resultante:
Leve todos os termos para um lado:
Vamos resolver essa equação quadrática.
Passo 4
Para resolver , podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são e .
Passo 5
Com os valores de , encontramos os respectivos valores de usando :
Para :
Para :
Portanto, os pontos de interseção são e .
Passo 6
Agora, vamos determinar qual curva está acima da outra no intervalo entre e . Testando um valor, por exemplo, :
Para :
ou
Para
Vemos que a parábola está acima da reta nesse intervalo.
Passo 7
A área entre as curvas é dada pela integral da função superior menos a função inferior, de a . Mas primeiro, expressamos em termos de :
Assim, a área será:
Passo 8
Vamos resolver a integral:
Calcular cada parte separadamente.
Passo 9
Para a primeira integral, fazemos uma substituição:
Deixe , então , ou .
Os limites de integração mudam para e .