Calcule a área da região limitada entre as curvas e .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que pede para calcular a área da região limitada entre as curvas e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e interseção de curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde as duas curvas se intersectam. Isso significa que vamos igualar as duas equações:
Vamos substituir da segunda equação na primeira:

Passo 3

Agora, vamos expandir e resolver a equação resultante:
Leve todos os termos para um lado:
Vamos resolver essa equação quadrática.

Passo 4

Para resolver , podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são e .

Passo 5

Com os valores de , encontramos os respectivos valores de usando :
Para :
Para :
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 6

Agora, vamos determinar qual curva está acima da outra no intervalo entre e . Testando um valor, por exemplo, :
Para :
ou
Para
Vemos que a parábola está acima da reta nesse intervalo.

Passo 7

A área entre as curvas é dada pela integral da função superior menos a função inferior, de a . Mas primeiro, expressamos em termos de :
Assim, a área será:

Passo 8

Vamos resolver a integral:
Calcular cada parte separadamente.

Passo 9

Para a primeira integral, fazemos uma substituição:
Deixe , então , ou .
Os limites de integração mudam para e .
Voltando a :

Passo 10

Para a segunda integral:

Resposta

A área da região limitada entre as curvas é:
Portanto, a área é unidades quadradas.

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