Calcule a área do triângulo determinada pelas curvas e .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três retas dadas pelas equações , e . Essas três retas se intersectam formando um triângulo no plano cartesiano, e nossa missão é calcular a área desse triângulo. Para isso, vamos precisar encontrar os pontos de interseção dessas retas e, em seguida, usar a fórmula da área de um triângulo.

Passo 2

Vamos encontrar os pontos de interseção das retas duas a duas. Primeiro, vamos encontrar onde e se encontram.
Igualando as duas equações:
Somando dos dois lados:
Dividindo por 5:
Substituindo na primeira equação:
Então, o primeiro ponto de interseção é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a interseção entre e .
Igualando as duas equações:
Subtraindo dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por :
Substituindo na primeira equação:
Então, o segundo ponto de interseção é .

Passo 4

Por último, vamos encontrar a interseção entre e .
Igualando as duas equações:
Somando dos dois lados:
Adicionando 5 aos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por :
Substituindo na primeira equação:
Então, o terceiro ponto de interseção é .

Passo 5

Agora que temos os três vértices do triângulo: , e , vamos calcular a área. Uma forma prática de calcular a área de um triângulo com coordenadas conhecidas é usando a fórmula:
Á
Vamos substituir os valores:
Á

Resposta

A área do triângulo determinada pelas curvas é 40 unidades quadradas.

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