Calcule as integrais. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A gente vai usar técnicas de integração, especificamente uma substituição trigonométrica, que ajuda a simplificar integrais envolvendo raízes quadradas de expressões quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos deixar como , mas uma abordagem melhor aqui é usar uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
Dessa forma, vai ser:

Passo 3

Agora, substituímos na expressão dentro da raiz:
Então, .

Passo 4

Substituindo tudo na integral original:
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, lembrando que , substituímos:

Passo 6

A integral de é conhecida:
Já a integral de é um pouco mais trabalhosa, mas podemos usar a fórmula:

Passo 7

Aplicando essas integrais:
Simplificando:

Passo 8

Agora, voltamos para usando a substituição original .
Sabemos que:
Então:

Passo 9

Substituindo de volta:
Simplificando os coeficientes:

Resposta

A integral é igual a:

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Calcule a área da região limitada entre as curvas e .
Calcule as integrais. .
Calcule as integrais. .