Calcule as integrais. integral x^2raiz4+9 x^2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A gente vai usar técnicas de integração, especificamente uma substituição trigonométrica, que ajuda a simplificar integrais envolvendo raízes quadradas de expressões quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos deixar x = 23 tantheta como dx = 23 sec^2theta , dtheta , mas uma abordagem melhor aqui é usar uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
Dessa forma, vai ser:

Passo 3

Agora, substituímos 4 + 9x^2 = 4 + 9 (23 tantheta)^2 = 4 + 4 tan^2theta = 4 sec^2theta na expressão dentro da raiz:
Então, .

Passo 4

Substituindo tudo na integral original:
integral x^2raiz4+9 x^2 , dx = integral (23 tantheta)^22 sectheta cdot 23 sec^2theta , dtheta
Simplificando os termos:
= integral 49 tan^2theta2 sectheta cdot 23 sec^2theta , dtheta = integral 49 tan^2theta cdot sectheta , dtheta

Passo 5

Agora, lembrando que = 49 integral (sec^2theta - 1) sectheta , dtheta = 49 integral (sec^3theta - sectheta) , dtheta , substituímos:

Passo 6

A integral de integral sectheta , dtheta = ln |sectheta + tantheta| + C é conhecida:
integral sec^3theta , dtheta = 12 sectheta tantheta + 12 ln |sectheta + tantheta| + C
Já a integral de é um pouco mais trabalhosa, mas podemos usar a fórmula:

Passo 7

Aplicando essas integrais:
49 ( 12 sectheta tantheta + 12 ln |sectheta + tantheta| - ln |sectheta + tantheta| ) + C
Simplificando:
= 49 ( 12 sectheta tantheta - 12 ln |sectheta + tantheta| ) + C

Passo 8

Agora, voltamos para sectheta = raiz4 + 9x^22 usando a substituição original tantheta = 3x2 .
Sabemos que:
sectheta tantheta = raiz4 + 9x^22 cdot 3x2 = 3x raiz4 + 9x^24
ln |sectheta + tantheta| = ln | raiz4 + 9x^22 + 3x2 | = ln ( raiz4 + 9x^2 + 3x2 )
Então:

Passo 9

Substituindo de volta:
49 ( 12 cdot 3x raiz4 + 9x^24 - 12 ln ( raiz4 + 9x^2 + 3x2 ) ) + C
Simplificando os coeficientes:
= 49 ( 3x raiz4 + 9x^28 - 12 ln ( raiz4 + 9x^2 + 3x2 ) ) + C
= 3x raiz4 + 9x^218 - 29 ln ( raiz4 + 9x^2 + 3x2 ) + C
= x raiz4 + 9x^26 - 29 ln ( raiz4 + 9x^2 + 3x2 ) + C

Resposta

A integral x raiz4 + 9x^26 - 29 ln ( raiz4 + 9x^2 + 3x2 ) + C é igual a:

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