Calcule a área da região limitada pela elipse x = a cos(t), y = b sen(t), 0 <= t <= pi/2, em que a > 0 e b > 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a área da região delimitada pela elipse definida pelas equações paramétricas e , onde e , para . Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que para curvas definidas por parâmetros, a área pode ser calculada usando a fórmula:
Aqui, e , com variando de 0 a .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos e na fórmula da área:

Passo 5

Para resolver a integral de , usamos a identidade trigonométrica:
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
Calculando cada parte:

Passo 7

Substituindo os resultados na expressão da área:

Resposta

A área da região é .

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