Calcule a área da região
delimitada pela cardioide
, em que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a área da região
que é delimitada por uma cardioide. A cardioide está descrita pelas equações paramétricas:
para
variando de
a
. Para achar a área dessa região, vamos usar uma fórmula específica de cálculo de área para curvas parametrizadas.
Passo 2
A fórmula que vamos usar para calcular a área
de uma curva parametrizada por
e
é:
Aqui,
e
são os limites de
, que no nosso caso são
e
. Para aplicar essa fórmula, precisamos primeiro encontrar as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas:
Passo 4
Agora, substituímos
,
,
e
na fórmula da área:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro do integral:
Primeiro, expandimos os produtos:
Substituindo de volta na integral:
Passo 6
Vamos simplificar mais usando identidades trigonométricas:
Sabemos que
e
. Além disso, combinamos os termos semelhantes:
Usando a identidade
, temos:
Passo 7
Agora, calculamos a integral:
Sabemos que:
Portanto:
Resposta
A área da região
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Demonstre que se
é uma região no plano limitada por uma curva
simples, fechada e suave por partes, então a área de
, denotada por
, pode ser dada por
em que a curva está orientada no sentido positivo.
Use o Teorema de Green para calcular
, onde
, onde
é a fronteira do quadrado de vértices
e
.
Calcule a área da região limitada pela elipse
, em que
e
.
Encontre no plano cartesiano os pontos cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre as coordenadas cartesianas dos pontos.
;