Calcule a área da região delimitada pela cardioide , em que e .

Passo 1

Beleza, vamos calcular a área da região que é delimitada por uma cardioide. A cardioide está descrita pelas equações paramétricas:
para variando de a . Para achar a área dessa região, vamos usar uma fórmula específica de cálculo de área para curvas parametrizadas.

Passo 2

A fórmula que vamos usar para calcular a área de uma curva parametrizada por e é:
Aqui, e são os limites de , que no nosso caso são e . Para aplicar essa fórmula, precisamos primeiro encontrar as derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas:

Passo 4

Agora, substituímos , , e na fórmula da área:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro do integral:
Primeiro, expandimos os produtos:
Substituindo de volta na integral:

Passo 6

Vamos simplificar mais usando identidades trigonométricas:
Sabemos que e . Além disso, combinamos os termos semelhantes:
Usando a identidade , temos:

Passo 7

Agora, calculamos a integral:
Sabemos que:
é
Portanto:

Resposta

A área da região é unidades de área.

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Demonstre que se é uma região no plano limitada por uma curva simples, fechada e suave por partes, então a área de , denotada por , pode ser dada por
em que a curva está orientada no sentido positivo.
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