Encontre no plano cartesiano os pontos cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre as coordenadas cartesianas dos pontos.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as coordenadas cartesianas de um ponto que está dado nas coordenadas polares. O que isso significa? Bom, em coordenadas polares, a posição de um ponto é definida por dois valores: a distância do ponto até a origem (chamamos isso de
) e o ângulo
que essa posição faz com o eixo positivo
. Para resolver isso, vamos usar as fórmulas que convertem coordenadas polares para cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores que temos. A coordenada polar dada é
. Aqui,
e
. O valor de
nos diz que o ponto está a uma distância de 2 unidades da origem, e
é o ângulo que esse ponto faz com o eixo
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar quais são as fórmulas para converter de coordenadas polares para cartesianas:
Essas fórmulas vão nos ajudar a encontrar os valores de
e
que correspondem ao ponto nas coordenadas cartesianas.
Passo 4
Vamos calcular o valor de
. Sabemos que o cosseno de um ângulo negativo é igual ao cosseno do ângulo positivo correspondente. Então:
E sabemos que:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos calcular
. O seno de um ângulo negativo é igual ao seno negativo do ângulo positivo correspondente. Assim:
E sabemos que:
Portanto:
Resposta
As coordenadas cartesianas do ponto são
.
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, em que
e
.
Calcule a área da região
delimitada pela cardioide
, em que
e
.
Parametrize as curvas abaixo e faça um esboço das respectivas curvas.
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Classifique as funções a seguir em um dos tipos estudados (função polinomial, potência, racional, trigonométrica, exponencial ou logarítmica).