Demonstre que se
é uma região no plano limitada por uma curva
simples, fechada e suave por partes, então a área de
, denotada por
, pode ser dada por
em que a curva está orientada no sentido positivo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que se temos uma região
no plano, limitada por uma curva
que é simples, fechada e suave por partes, então a área de
, que chamamos de
, pode ser calculada usando a integral de linha
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de linha e como elas podem ser usadas para calcular áreas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha. Basicamente, é uma maneira de somar valores ao longo de uma curva. No nosso caso, queremos somar
ao longo da curva
. A ideia é relacionar essa soma com a área da região
.
Passo 3
Agora, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha ao redor de uma curva fechada com integrais duplas sobre a região limitada por essa curva. O Teorema de Green nos diz que:
No nosso caso, queremos escolher
e
de forma que a integral de linha corresponda a
. Para isso, podemos escolher
e
.
Passo 4
Substituindo
e
no Teorema de Green, temos:
Simplificando a expressão dentro da integral dupla:
Então, fica:
Passo 5
A integral dupla
é justamente a definição da área da região
. Ou seja:
Portanto, substituindo de volta na nossa equação anterior:
Resposta
Assim, demonstramos que a área da região
é igual à integral de linha
quando a curva
está orientada no sentido positivo.
Exercícios relacionados
Use o Teorema de Green para calcular
, onde
, onde
é a fronteira do quadrado de vértices
e
.
Use o Teorema de Green para determinar o trabalho realizado pelo campo de forças
sobre uma partícula que percorre uma vez, no sentido antihorário, a curva fechada dada pelas equações
e
.
Calcule a área da região
delimitada pela cardioide
, em que
e
.
Calcule a área da região limitada pela elipse
, em que
e
.