Demonstre que se R é uma região no plano limitada por uma curva gamma simples, fechada e suave por partes, então a área de R, denotada por AR, pode ser dada por
ointgamma x d y
em que a curva está orientada no sentido positivo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que se temos uma região no plano, limitada por uma curva que é simples, fechada e suave por partes, então a área de , que chamamos de , pode ser calculada usando a integral de linha . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de linha e como elas podem ser usadas para calcular áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha. Basicamente, é uma maneira de somar valores ao longo de uma curva. No nosso caso, queremos somar ao longo da curva . A ideia é relacionar essa soma com a área da região .

Passo 3

Agora, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha ao redor de uma curva fechada com integrais duplas sobre a região limitada por essa curva. O Teorema de Green nos diz que:
ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaR ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
No nosso caso, queremos escolher e de forma que a integral de linha corresponda a . Para isso, podemos escolher e .

Passo 4

Substituindo ointgamma 0 , dx + x , dy = integral duplaR ( partial xpartial x - partial 0partial y ) dA e partial xpartial x = 1 e partial 0partial y = 0 no Teorema de Green, temos:
ointgamma x , dy = integral duplaR (1 - 0) , dA = integral duplaR 1 , dA
Simplificando a expressão dentro da integral dupla:
Então, fica:

Passo 5

A integral dupla integral duplaR 1 , dA = AR é justamente a definição da área da região ointgamma x , dy = AR . Ou seja:
Portanto, substituindo de volta na nossa equação anterior:

Resposta

Assim, demonstramos que a área da região é igual à integral de linha quando a curva está orientada no sentido positivo.

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