Demonstre que se é uma região no plano limitada por uma curva simples, fechada e suave por partes, então a área de , denotada por , pode ser dada por
em que a curva está orientada no sentido positivo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que se temos uma região no plano, limitada por uma curva que é simples, fechada e suave por partes, então a área de , que chamamos de , pode ser calculada usando a integral de linha . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de linha e como elas podem ser usadas para calcular áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha. Basicamente, é uma maneira de somar valores ao longo de uma curva. No nosso caso, queremos somar ao longo da curva . A ideia é relacionar essa soma com a área da região .

Passo 3

Agora, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha ao redor de uma curva fechada com integrais duplas sobre a região limitada por essa curva. O Teorema de Green nos diz que:
No nosso caso, queremos escolher e de forma que a integral de linha corresponda a . Para isso, podemos escolher e .

Passo 4

Substituindo e no Teorema de Green, temos:
Simplificando a expressão dentro da integral dupla:
Então, fica:

Passo 5

A integral dupla é justamente a definição da área da região . Ou seja:
Portanto, substituindo de volta na nossa equação anterior:

Resposta

Assim, demonstramos que a área da região é igual à integral de linha quando a curva está orientada no sentido positivo.

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Use o Teorema de Green para calcular , onde , onde é a fronteira do quadrado de vértices e .
Use o Teorema de Green para determinar o trabalho realizado pelo campo de forças sobre uma partícula que percorre uma vez, no sentido antihorário, a curva fechada dada pelas equações e .
Calcule a área da região delimitada pela cardioide , em que e .
Calcule a área da região limitada pela elipse , em que e .