Calcule a área da regiäo limitada pelos gráficos das seguintes curvas: e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região que fica entre as curvas e . Para isso, vamos usar um pouco de cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde essas duas curvas se cruzam. Isso acontece quando . Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de .

Passo 3

Vamos igualar as duas equações:
Agora, vamos trazer todos os termos para um lado da equação:

Passo 4

Simplificando a equação:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos duas soluções:

Passo 5

Agora que sabemos que as curvas se cruzam nos pontos e , vamos determinar qual das funções está acima da outra nesse intervalo. Para isso, podemos escolher um valor de entre -1 e 3, por exemplo, :
Como é maior que , a curva está acima de nesse intervalo.

Passo 6

Para encontrar a área entre as curvas, usamos a seguinte fórmula de integração:
Á
Substituindo os valores:
Á

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Á

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a antiderivada é:

Passo 9

Vamos avaliar essa antiderivada nos limites de integração, e :
Para :
Para :

Passo 10

Agora, subtraímos os valores obtidos:
Á

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é unidades de área.

Exercícios relacionados

(a) Determine a primitiva de , tal que .
Uma partícula que se movimenta ao longo do sentido positivo de possui as seguintes posições para vários instantes de tempo:
0,080 0,050 0,040 0,050 0,080 0,13 0,20
0 1 2 3 4 5 6
(b) Encontre a velocidade média da partícula nos intervalos de até até até .
Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos a regiào limitada pelo gráfico de e o eixo dos .
Em Teoria da Probabilidade e Estatística uma função para variáveis aleatórias contínuas é chamada de função densidade de probabilidade se satisfazer as seguintes condições
(a)
(b)
em que os limites de integraçio correspondem ao domínio assumido peln funçĩo .
Mostre que a função a seguir é uma funçâo densidade de probabilidade.
em que e sióo constantes c . Calcule .
Outras quantidades importantes e de interesse são dadas, respectivamente, pela Esperança, e Variância, de una variável aleatóriı. A esperanga e a variância podem ser definidas da seguinte forma
(a)
(b)
Desta forma, calcule a esperança e a varianncia da funçũo dada acima. Ou seja, para a Esperança do item (a) calcule e para a Variància calcule e utilize a fórmula do