Calcule a área da regiäo limitada pelos gráficos das seguintes curvas:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região que fica entre as curvas
e
. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde essas duas curvas se cruzam. Isso acontece quando
. Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
.
Passo 3
Vamos igualar as duas equações:
Agora, vamos trazer todos os termos para um lado da equação:
Passo 4
Simplificando a equação:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos duas soluções:
Passo 5
Agora que sabemos que as curvas se cruzam nos pontos
e
, vamos determinar qual das funções está acima da outra nesse intervalo. Para isso, podemos escolher um valor de
entre -1 e 3, por exemplo,
:
Como
é maior que
, a curva
está acima de
nesse intervalo.
Passo 6
Para encontrar a área entre as curvas, usamos a seguinte fórmula de integração:
Substituindo os valores:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a antiderivada é:
Passo 9
Vamos avaliar essa antiderivada nos limites de integração,
e
:
Para
:
Para
:
Passo 10
Agora, subtraímos os valores obtidos:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é
unidades de área.